取任一元素证集合包含

解题套路

1. 写下开场白：「设 $x\in X$。」——从此只面对一个元素，不再面对整个集合。
2. 把 $x\in X$ 翻译成条件。$X$ 是怎么定义的，就把定义原样展开： $x\in A\cap B$ 就是「$x\in A$ 且 $x\in B$」，$x\in A\cup B$ 就是「$x\in A$ 或 $x\in B$」， $x\in\complement_{U}A$ 就是「$x\in U$ 且 $x\notin A$」。
3. 对没写死的归属做分类。推理里若出现一个「$x$ 到底属不属于 $C$」的岔口， 就分成 $x\in C$ 与 $x\notin C$ 两支，两支都要推到 $x\in Y$，缺一支就不成立。
4. 收尾：「故 $x\in Y$，从而 $X\subseteq Y$。」
5. 要相等就做两遍：$X\subseteq Y$ 与 $Y\subseteq X$ 各证一次。

为什么这一步值钱

• 把「集合」这种整体对象拆成可判定的是非题。集合之间的运算法则可能记不全， 但「属于/不属于」永远只有两种可能，逐条判就不会漏。
• 元素个数的不等式跟着白拿。有限集里 $X\subseteq Y\Rightarrow |X|\leq|Y|$， 而且 $|X|=|Y|$ 时必有 $X=Y$。先证包含、再数个数，比直接比较个数稳得多。
• 并集的个数有现成的上界：$|X\cup Y|\leq|X|+|Y|$。 于是「$Z\subseteq X\cup Y$」一步就给出 $|Z|\leq|X|+|Y|$—— 各种「三角不等式」形状的结论多半是这么来的。

什么时候不这么做

• 集合由有限个明确元素给出时，直接列举比推理快。
• 条件本身就是元素个数的等式（如「$\mathrm{card}$ 的方程」）而与元素的具体身份无关时， 用容斥公式做整数运算更直接。

注意

• 别把「或」推成「且」。$x\in A\cup B$ 只保证至少属于一个，不能默认两个都属于。
• 分类要不重不漏。岔口是 $x\in C$ 与 $x\notin C$，这两支合起来就是全部，不要再造第三支。
• 包含不等于真包含。证出 $X\subseteq Y$ 之后若还要说明 $X\neq Y$， 必须另外举出一个属于 $Y$ 但不属于 $X$ 的元素。
• 反过来不成立：$|X|\leq|Y|$ 推不出 $X\subseteq Y$。