浙江 2010 · 数学 q01

冷启动：两个集合都是用「一句话」给出来的

题目没有把元素一个一个列出来，而是各给了一条属性：

$$P=\{x\mid x<4\},\qquad Q=\{x\mid x^{2}<4\} .$$

读法是「所有满足竖线右边那句话的 $x$」。$P$ 那句话已经是最简形式——比 $4$ 小的全部实数，画在数轴上是一条从左边无限伸过来、右端停在 $4$ 之前的射线（$4$ 本身不算，因为写的是 $<$ 而不是 $\leq$）。

$Q$ 那句话还没解开。$x^{2}<4$ 是一个二次不等式，但它不必列方程：一个数的平方小于 $4$，说的就是这个数离原点不到 $2$ 格，即

$$x^{2}<4\iff |x|<2\iff -2<x<2 .$$

于是 $Q=(-2,2)$，两个端点都不含。

四个选项问的都是同一种事：某个集合是不是另一个集合的子集。「$A\subseteq B$」的意思是「$A$ 里的每一个元素都在 $B$ 里」，注意它是单向的——$A\subseteq B$ 与 $B\subseteq A$ 是两句不同的话，选项 (A) 与 (B) 摆的正是这一对。

解法一：解出 $Q$ 摆到数轴上，四条包含式逐条验

怎么想到的。 集合之间的包含是位置关系，而位置关系画出来最省脑子。四个选项里除了 $P$、$Q$ 还出现了 $\complement_{\mathbf{R}}Q$、$\complement_{\mathbf{R}}P$，那就把这四段一起摆到同一条数轴上——摆完之后，「谁整段落在谁里面」是看出来的，不必逐条去想。

① 把四段都算出来。 全集是 $\mathbf{R}$，补集就是「数轴上剩下的部分」：

这里有一个几乎人人都会崴一下的地方：取补集时端点的开闭要翻个个儿。$Q$ 在 $-2$ 处是开的（$-2\notin Q$），所以 $-2$ 落进补集里，补集在这一头是闭的；反过来 $P$ 在 $4$ 处开，$\complement_{\mathbf{R}}P$ 就从 $4$ 起、且含 $4$。把 $\complement_{\mathbf{R}}P$ 写成 $(4,+\infty)$ 是本题最容易丢分的一笔。

② 逐条验。 要否掉一条包含式，只需要一个反例——找一个属于左边、却不属于右边的数：

• (A) $P\subseteq Q$：取 $x=3$。$3<4$ 故 $3\in P$；而 $3^{2}=9>4$ 故 $3\notin Q$。一个反例就够，(A) 假。
• (B) $Q\subseteq P$：$Q$ 里的数都满足 $-2<x<2$，于是当然有 $x<2<4$，个个都在 $P$ 里。真。
• (C) $P\subseteq\complement_{\mathbf{R}}Q$：取 $x=0$。$0\in P$，但 $0\in Q$、因而 $0\notin\complement_{\mathbf{R}}Q$。假。
• (D) $Q\subseteq\complement_{\mathbf{R}}P$：还是 $x=0$。$0\in Q$，而 $\complement_{\mathbf{R}}P=[4,+\infty)$ 里没有 $0$。假。

答案 B。

提醒一句： 上面四条里，(B) 是唯一不能用「举一个例子」证明的——举例只能否掉一条包含式，不能肯定它。(A)(C)(D) 各配了一个反例，(B) 那一条则必须对 $Q$ 里的每个数说话，所以写的是「$-2<x<2\Rightarrow x<4$」这样一句覆盖全体的推理，而不是「$0$ 在里面、$1$ 也在里面」。

解法二：任取元素——不解 $Q$ 也能一步推出 $Q\subseteq P$

怎么想到的。 解法一为了比较，先把 $x^{2}<4$ 解成了区间。但要证的其实只是一句蕴含：「$x^{2}<4$ 的数，是不是一定满足 $x<4$？」既然结论是关于单个 $x$ 的，那就干脆只盯着单个 $x$——设 $x\in Q$，看能不能一路推到 $x\in P$。这样连区间都不用画。

设 $x\in Q$，即 $x^{2}<4$。两边开方时注意 $\sqrt{x^{2}}$ 等于 $|x|$ 而不是 $x$（$x$ 可能是负的，$\sqrt{(-3)^{2}}=3\neq-3$），于是

$$|x|=\sqrt{x^{2}}<\sqrt{4}=2 .$$

而任何实数都不超过它的绝对值，$x\leq|x|<2<4$，所以 $x<4$，即 $x\in P$。由 $x$ 是 $Q$ 里任取的一个，得 $Q\subseteq P$，(B) 真。

为什么这条路更省事。 关键的一步只是 $2<4$ 这个比较——「$Q$ 的半径」小于「$P$ 的上界」。把题目里的 $P$ 换成 $\{x\mid x<100\}$，链条的形状一模一样（只把末尾那个 $4$ 换成 $100$）；解法一那种「先解集合再比端点」的做法，则要把两个集合重新摆一遍。

顺带把 (A) 也否了。 反方向的蕴含「$x<4\Rightarrow x^{2}<4$」一眼就不像话：$x$ 可以要多负有多负，平方却要多大有多大。取 $x=-10$（或解法一用的 $3$）即可。

解法三：先比选项之间的关系——(C) 与 (D) 是同一句话

怎么想到的。 这是选择题，四个选项里只有一个对。于是选项之间的逻辑关系本身就是信息：如果两个选项说的是同一件事，它们要么一起对、要么一起错，而「一起对」会让这道题有两个正确答案——所以它们必定一起错，不用算就能划掉。

盯住 (C) 与 (D) 看：

• (C) $P\subseteq\complement_{\mathbf{R}}Q$ 说的是「$P$ 里的每个数都不在 $Q$ 里」；
• (D) $Q\subseteq\complement_{\mathbf{R}}P$ 说的是「$Q$ 里的每个数都不在 $P$ 里」。

这两句话都等价于同一件事：$P$ 与 $Q$ 没有公共元素，也就是 $P\cap Q=\varnothing$。（一般地，$A\subseteq\complement_U B$ 与 $B\subseteq\complement_U A$ 恒等价，都等于「$A$ 与 $B$ 的交集为空」。）所以 (C)(D) 同真同假，在单选题里就只能同假——一步划掉两个。

剩下 (A) $P\subseteq Q$ 与 (B) $Q\subseteq P$。这一对也有结构：两条同时成立就意味着 $P=Q$。而 $3\in P$、$3\notin Q$，两个集合并不相等，于是 (A)(B) 至多一条真；又因为四个选项里必有一条真，而 (C)(D) 已被划掉，真的那条只能在 (A)(B) 里。刚才那个 $3$ 已经把 (A) 否了，所以答案是 (B)。

这条路的价值与它的边界。 它一次都没有解 $x^{2}<4$。考场上如果不等式解得不顺手，先扫一眼选项之间有没有「说的是同一件事」或者「互为反向」的配对，往往能把四选一直接压成二选一——省下来的时间够检查后面两道大题。

但要看清它靠的是什么：整条推理挂在「四个选项里恰有一个对」这个题型格式上，全程并没有正面证过 $Q\subseteq P$。所以它只在选择题里算数；同样的问题若出成解答题，还得把解法一或解法二那一句补上（$Q=(-2,2)\subseteq(-\infty,4)=P$）。