浙江 2010 · 数学 q17

冷启动：把「不重复」翻译成项目表

五个项目是身高与体重、立定跳远、肺活量、握力、台阶。上午不测握力，所以上午只测前三个加台阶；下午不测台阶，所以下午只测前三个加握力。「其余项目上、下午都各测试一人」说的就是：身高与体重、立定跳远、肺活量这三个公共项目，上午、下午各被一名同学测；台阶只在上午测一次、握力只在下午测一次。

于是问题变成：上午把 4 名同学安排到 4 个项目（每个项目一人），下午也把 4 名同学安排到 4 个项目（每个项目一人），并且同一位同学上、下午的项目不能相同。

「不能相同」只可能发生在三个公共项目上——台阶上午有、下午没有，握力下午有、上午没有，它们不可能造成重复。真正要防的是「某同学上午测了身高与体重、下午又测身高与体重」这一类的三件事。

解法一：先排上午，下午分类讨论

怎么想到的。 安排可以拆成「先定上午、再定下午」两步。上午没有任何约束（第一次排），下午才有「不能重复」的约束；而约束落在谁身上，关键看上午测台阶的那位同学——他下午没有任何顾忌（台阶下午不测），是下午最自由的人。于是下午按「他测不测握力」分类，正好不重不漏。

① 上午： 4 名同学对应 {身高与体重、立定跳远、肺活量、台阶} 四个项目，全排列：

$$4! = 24 \text{ 种}$$

② 下午： 固定某一种上午安排（下午的种数与上午怎么排无关）。设上午测台阶的同学叫甲，乙、丙、丁上午分别测身高与体重、立定跳远、肺活量。下午 4 人对应 {身高与体重、立定跳远、肺活量、握力}，乙、丙、丁各自不能测自己上午的项目，甲无约束。

• 甲测握力：乙、丙、丁只能测 {身高与体重、立定跳远、肺活量}，且各自避开自己的项目——三个人的错排（人人都不在自己原位）只有 $2$ 种。
• 甲不测握力：甲改测 {身高与体重、立定跳远、肺活量} 之一，$3$ 种选法；剩下乙、丙、丁测剩余的 3 个项目，其中两人有「不能重复」约束，恰好 $3$ 种（拿「甲测身高与体重」为例：乙、丙、丁排进 {立定跳远、肺活量、握力}，丙不测立定跳远、丁不测肺活量，$3$ 种）。这一支共 $3\times 3=9$ 种。

下午合计 $2+9=11$ 种。

③ 分步乘法：

$$24\times 11=264 \text{ 种}$$

解法二：容斥间接排除

怎么想到的。 直接数「不重复」麻烦，就反过来：先数完全不管不重复的总数，再减掉「有重复」的那些。重复只可能落在三个公共项目上，于是对它们用容斥原理——先单个减、再加回两两重叠、最后减去三者重叠。

① 全排： 上午 $4!$ 种、下午 $4!$ 种，互不约束共

$$4!\times 4! = 24\times 24 = 576 \text{ 种}$$

② 数「重复」： 记 $A$ = 身高与体重被同一人上、下午各测一次（$B$ = 立定跳远、$C$ = 肺活量同理）。

• $|A| = 4!\times 3! = 144$：上午 $4!$ 定下谁测身高与体重，下午这个人必须再测身高与体重，其余 $3$ 人 $3!$ 种。同理 $|B|=|C|=144$。
• $|A\cap B| = 4!\times 2! = 48$（两个公共项目各被同一人重复，同理共三对）；$|A\cap B\cap C| = 4!\times 1! = 24$。

③ 容斥求和：

$$|A\cup B\cup C| = 144+144+144-48-48-48+24 = 312$$

④ 合规 = 全排 − 重复：

$$576 - 312 = 264 \text{ 种}$$

与解法一吻合。

避坑

• 分类要「不重不漏」（分类计数重复或遗漏）：解法一里「甲测握力」与「甲不测握力」合起来恰好穷尽下午甲能做的 4 种选择，漏掉「甲不测握力」这一支会少算 $9$。
• 容斥别多减漏减：$576$ 一次减去 $144\times 3$ 之后，两个公共项目同时重复的那些被减了两次，要加回 $48\times 3$；三个同时重复的又被加多了，再减 $24$。任一步跳掉都会差之毫厘。
• 别漏掉「上午、下午项目不同」：只按「上午 $4!$、下午 $4!$」相乘、不排除重复，会得到 $576$，比正确答案多出一大截——本题的坑全在「不重复」这三个字上。
• 三个人的错排别当 $3$ 种：错排是「人人都不在原位」，只有 $2$ 种，不是 $3$、更不是 $3!=6$。

收口

一句话：先排上午（$4!$），下午只有三个公共项目会引发「重复」——围绕最自由的台阶同学分类讨论，或反过来用容斥把重复减干净，两条路都得到 $264$。

带走的结论：遇到「上、下午各安排一次、且同一人不能重复」的计数，先把「会重复的项目」和「只出现一次的项目」分开。只出现一次的项目（台阶、握力）既不产生约束、也不产生重复，真正要处理的只是那几个公共项目。