二项分布

教材原文

一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为

$P (X = k) = \mathrm{C} _ {n} ^ {k} p ^ {k} (1 - p) ^ {n - k}, k = 0, 1, 2, \dots , n.$

如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布（binomial distribution），记作 $X \sim B(n, p)$ .

由二项式定理，容易得到

$\sum_ {k = 0} ^ {n} P (X = k) = \sum_ {k = 0} ^ {n} \mathrm{C} _ {n} ^ {k} p ^ {k} (1 - p) ^ {n - k} = [ p + (1 - p) ] ^ {n} = 1.$

一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：

（1）明确伯努利试验及事件 A 的意义，确定事件 A 发生的概率 p；

(2) 确定重复试验的次数 n，并判断各次试验的独立性；

(3) 设 X 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，则 $X \sim B(n, p)$ .

一般地，可以证明：

如果 $X \sim B(n, p)$ ，那么 $E(X) = np$ ， $D(X) = np(1 - p)$ .

定义

同一个试验独立地重复 $n$ 次，每次只看一件事发生没发生——发生记作成功，概率为 $p$， 不发生记作失败，概率为 $1-p$。把 $n$ 次里成功的次数记作 $X$，则

称 $X$ 服从二项分布，记作 $X\sim B(n,p)$。

公式的读法是「先选哪几次成功，再乘概率」：$C_{n}^{k}$ 是从 $n$ 次里挑出成功的那 $k$ 次， $p^{k}(1-p)^{n-k}$ 是某一种指定的成败序列的概率——独立才让这一串概率能直接相乘， 每次 $p$ 相同才让每种序列的概率都一样、可以合并成一项。

要点

• 三个前提，缺一不可：① 每次试验只有「成功 / 失败」两种结果；② 每次成功的概率 $p$ 都一样； ③ 各次试验相互独立。三条同时成立才叫 $n$ 重伯努利试验，才有上面那个公式。
• $E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。 期望的记法是「次数 × 每次的成功率」， 方差在 $p=\dfrac12$ 时最大。
• $\sum_{k=0}^{n}P(X=k)=[p+(1-p)]^{n}=1$——概率和自动为 $1$，这正是名字里「二项」的来历： 它就是 $[p+(1-p)]^{n}$ 按二项式定理展开的各项。算完分布列拿这条自查，一秒钟。
• 与超几何分布只差一句「放回不放回」。 放回（或每次条件不变）$\Rightarrow$ 二项分布； 不放回 $\Rightarrow$ 超几何分布。两者的期望都是 $np$， 所以「期望算对了」根本不能当作模型选对了的证据。
• 求 $P(X=k)$ 之前先把 $p$ 定死。 多数考题的难点不在这个公式，而在前半段： 把一次复杂的随机过程（投球、抽奖、比赛）压缩成一次「成功 / 失败」，并算出那个 $p$。

常见失手

1. 不独立也照套。 不放回抽取、淘汰制比赛、用完就弃的牌，各次结果互相牵制， $X$ 不服从二项分布；此时期望的可加性仍然能用，二项分布的概率公式不能用。
2. $k$ 与 $n-k$ 的指数写反。 $p$ 的指数必须与 $C_{n}^{k}$ 的上标一致， 都是成功的次数；写完检查两个指数之和是不是 $n$。
3. 把「至少一次」逐项相加。 $P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^{n}$， 走对立事件一行就够，逐项加到 $n$ 是白费力气还容易漏项。