7.4 二项分布与超几何分布

7.4 二项分布与超几何分布

前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型——二项分布和超几何分布.

7.4.1 二项分布

在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果。例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等。我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials）。

我们将一个伯努利试验独立地重复进行 $n$ 次所组成的随机试验称为 $n$ 重伯努利试验。显然，$n$ 重伯努利试验具有如下共同特征：

(1) 同一个伯努利试验重复 $^{\text{\textcircled{1}}}$ 做 n 次；

(2) 各次试验的结果相互独立.

① “重复” 意味着各次试验成功的概率相同.

思考

下面3个随机试验是否为 $n$ 重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为 $A$ ，那么 $A$ 的概率是多大？重复试验的次数是多少？

(1) 抛掷一枚质地均匀的硬币 10 次.

(2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为 0.8，连续射击 3 次.

(3) 一批产品的次品率为 $5\%$ ，有放回地随机抽取 20 件.

在伯努利试验中，我们关注某个事件 $A$ 是否发生，而在 $n$ 重伯努利试验中，我们关注事件 $A$ 发生的次数 $X$。进一步地，因为 $X$ 是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列。例如，对产品抽样检验，随机抽取 $n$ 件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列。

探究

某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数 $X$ 的概率分布列是怎样的？

用 $A_{i}$ 表示 “第 i 次射击中靶” (i=1, 2, 3)，用如图 7.4-1 的树状图表示试验的可能结果.

由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有 $2^{3} = 8$ 种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积．由概率的加法公式和乘法公式得

$P (X = 0) = P (\overline {{A}} _ {1} \overline {{A}} _ {2} \overline {{A}} _ {3}) = 0. 2 ^ {3},$

$P (X = 1) = P (A _ {1} \overline {{A}} _ {2} \overline {{A}} _ {3}) + P (\overline {{A}} _ {1} A _ {2} \overline {{A}} _ {3}) + P (\overline {{A}} _ {1} \overline {{A}} _ {2} A _ {3}) = 3 \times 0. 8 \times 0. 2 ^ {2},$

$P (X = 2) = P (A _ {1} A _ {2} \overline {{A}} _ {3}) + P (A _ {1} \overline {{A}} _ {2} A _ {3}) + P (\overline {{A}} _ {1} A _ {2} A _ {3}) = 3 \times 0. 8 ^ {2} \times 0. 2,$

$P (X = 3) = P (A _ {1} A _ {2} A _ {3}) = 0. 8 ^ {3}.$

为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为 $0.8^{2} \times 0.2$ ，并且与哪两次中靶无关。因此，3次射击恰好2次中靶的概率为 $\mathrm{C}_3^2 \times 0.8^2 \times 0.2$ 。同理可求中靶0次、1次、3次的概率。于是，中靶次数 $X$ 的分布列为

$P (X = k) = \mathrm{C} _ {3} ^ {k} \times 0. 8 ^ {k} \times 0. 2 ^ {3 - k}, k = 0, 1, 2, 3.$

思考

如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数 $X$ 等于2的结果有哪些？写出中靶次数 $X$ 的分布列.

一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为

$P (X = k) = \mathrm{C} _ {n} ^ {k} p ^ {k} (1 - p) ^ {n - k}, k = 0, 1, 2, \dots , n.$

对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？

如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布（binomial distribution），记作 $X \sim B(n, p)$ .

由二项式定理，容易得到

$\sum_ {k = 0} ^ {n} P (X = k) = \sum_ {k = 0} ^ {n} \mathrm{C} _ {n} ^ {k} p ^ {k} (1 - p) ^ {n - k} = [ p + (1 - p) ] ^ {n} = 1.$

例 1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷 10 次，求：

(1) 恰好出现 5 次正面朝上的概率;

(2) 正面朝上出现的频率在 $[0.4, 0.6]$ 内的概率.

分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验。因此，正面朝上的次数服从二项分布。

解：设 $A =$ “正面朝上”，则 $P(A) = 0.5$。用 $X$ 表示事件 $A$ 发生的次数，则 $X \sim B(10, 0.5)$。

(1) 恰好出现 5 次正面朝上等价于 X=5，于是

$P (X = 5) = \mathrm{C} _ {1 0} ^ {5} \times 0. 5 ^ {1 0} = \frac {2 5 2}{1 0 2 4} = \frac {6 3}{2 5 6};$

（2）正面朝上出现的频率在 $[0.4, 0.6]$ 内等价于 $4 \leqslant X \leqslant 6$ ，于是

$P (4 \leqslant X \leqslant 6) = \mathrm{C} _ {1 0} ^ {4} \times 0. 5 ^ {1 0} + \mathrm{C} _ {1 0} ^ {5} \times 0. 5 ^ {1 0} + \mathrm{C} _ {1 0} ^ {6} \times 0. 5 ^ {1 0} = \frac {6 7 2}{1 0 2 4} = \frac {2 1}{3 2}.$

例 2 图 7.4-2 是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉, 小木钉之间留有适当的空隙作为通道, 前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放入, 小球下落的过程中, 每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下, 最后落入底部的格子中. 格子从左到右分别编号为 0, 1, 2, …, 10, 用 X 表示小球最后落入格子的号码, 求 X 的分布列.

分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果。设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5。在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验。小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此 $X$ 服从二项分布。

解：设 A = “向右下落”，则 $\overline{A} = \text{“向左下落”}$ ，且 $P(A) = P(\overline{A}) = 0.5$ 。因为小球最后落入格子的号码 X 等于事件 A 发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉 10 次，所以 $X \sim B(10, 0.5)$ . 于是，X 的分布列为

$P (X = k) = \mathrm{C} _ {1 0} ^ {k} \times 0. 5 ^ {1 0}, k = 0, 1, 2, \dots , 1 0.$

X 的概率分布图如图 7.4-3 所示.

例 3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利？

分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大。可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有 $n$ 局，把 $n$ 局比赛看成 $n$ 重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。

解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分 $2:0$ 或 $2:1$ ，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为

$p _ {1} = 0. 6 ^ {2} + \mathrm{C} _ {2} ^ {1} \times 0. 6 ^ {2} \times 0. 4 = 0. 6 4 8.$

类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0，3:1或3:2。因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为

$p _ {2} = 0. 6 ^ {3} + \mathrm{C} _ {3} ^ {2} \times 0. 6 ^ {3} \times 0. 4 + \mathrm{C} _ {4} ^ {2} \times 0. 6 ^ {3} \times 0. 4 ^ {2} = 0. 6 8 2 5 6.$

解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用 $X$ 表示3局比赛中甲胜的局数，则$X\sim B(3,0.6)$ .甲最终获胜的概率为

$p _ {1} = P (X = 2) + P (X = 3) = \mathrm{C} _ {3} ^ {2} \times 0. 6 ^ {2} \times 0. 4 + \mathrm{C} _ {3} ^ {3} \times 0. 6 ^ {3} = 0. 6 4 8.$

采用 5 局 3 胜制，不妨设赛满 5 局，用 X 表示 5 局比赛中甲胜的局数，则 $X \sim B(5, 0.6)$ . 甲最终获胜的概率为

$\begin{array}{r l} p _ {2} & = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) \\ & = \mathrm{C} _ {5} ^ {3} \times 0. 6 ^ {3} \times 0. 4 ^ {2} + \mathrm{C} _ {5} ^ {4} \times 0. 6 ^ {4} \times 0. 4 + \mathrm{C} _ {5} ^ {5} \times 0. 6 ^ {5} \\ & = 0. 6 8 2 5 6. \end{array}$

为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？

因为 $p_2 > p_1$ ，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.

归纳

一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：

（1）明确伯努利试验及事件 A 的意义，确定事件 A 发生的概率 p；

(2) 确定重复试验的次数 n，并判断各次试验的独立性；

(3) 设 X 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，则 $X \sim B(n, p)$ .

对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征。因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的。

探究

假设随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$，那么 $X$ 的均值和方差各是什么？

我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有 $100\times0.5=50$ 次正面朝上。根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X，我们猜想 $E(X)=np$ 。

我们不妨从简单开始，先考察 n 较小的情况.

(1) 当 n=1 时，X 服从两点分布，分布列为

$P (X = 0) = 1 - p, P (X = 1) = p.$

均值和方差分别为

$E (X) = p, D (X) = p (1 - p).$

(2) 当 n=2 时，X 的分布列为

$P (X = 0) = (1 - p) ^ {2}, P (X = 1) = 2 p (1 - p), P (X = 2) = p ^ {2}.$

均值和方差分别为

$E (X) = 0 \times (1 - p) ^ {2} + 1 \times 2 p (1 - p) + 2 \times p ^ {2} = 2 p.$

$D (X) = 0 ^ {2} \times (1 - p) ^ {2} + 1 ^ {2} \times 2 p (1 - p) + 2 ^ {2} \times p ^ {2} - (2 p) ^ {2} = 2 p (1 - p).$

一般地，可以证明：

如果 $X \sim B(n, p)$ ，那么 $E(X) = np$ ， $D(X) = np(1 - p)$ .

下面我们对均值进行证明.

令 $q = 1 - p$ ，由 $k\mathrm{C}_n^k = n\mathrm{C}_{n - 1}^{k - 1}$ ，可得

$E (X) = \sum_ {k = 0} ^ {n} k \mathrm{C} _ {n} ^ {k} p ^ {k} q ^ {n - k} = \sum_ {k = 1} ^ {n} n \mathrm{C} _ {n - 1} ^ {k - 1} p ^ {k} q ^ {n - k} = n p \sum_ {k = 1} ^ {n} \mathrm{C} _ {n - 1} ^ {k - 1} p ^ {k - 1} q ^ {n - 1 - (k - 1)}.$

令 $k - 1 = m$ ，则

$E (X) = n p \sum_ {m = 0} ^ {n - 1} \mathrm{C} _ {n - 1} ^ {m} p ^ {m} q ^ {n - 1 - m} = n p (p + q) ^ {n - 1} = n p.$

二项分布的应用非常广泛。例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分布为基础的；参加某保险的人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述。

练习

1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 4 次，X 表示 “正面朝上” 出现的次数.

(1) 求 X 的分布列；