7.2 离散型随机变量及其分布列

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7.2 离散型随机变量及其分布列

求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题。类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验。

有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系。例如，掷一枚骰子，用实数 $m(m=1,2,3,4,5,6)$ 表示“掷出的点数为 $m$ ”；又如，掷两枚骰子，样本空间为 $\Omega=\{(x,y)\mid x,y=1,2,\cdots,6\}$，用 $x+y$ 表示“两枚骰子的点数之和”，样本点 $(x,y)$ 就与实数 $x+y$ 对应。

有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值。例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关。如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义

$X = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {抽到次品,} \\ 0, & \text {抽到正品,} \end{array} \right.$

那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.

类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5，4，3，2，1；等等.

对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应。即通过引入一个取值依赖于样本点的变量 $X$，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化。因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量 $X$ 的取值也具有随机性。

探究

考察下列随机试验及其引入的变量：

试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量 $X$ 表示三个元件中的次品数；

试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量 $Y$ 表示需要的抛掷次数.

这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量 $X$ ， $Y$ 有哪些共同的特征？

对于试验 1，如果用 0 表示 “元件为合格品”，1 表示 “元件为次品”，用 0 和 1 构成的长度为 3 的字符串表示样本点，则样本空间

$\Omega_ {1} = \{0 0 0, 0 0 1, 0 1 0, 0 1 1, 1 0 0, 1 0 1, 1 1 0, 1 1 1 \}.$

各样本点与变量 X 的值的对应关系如图 7.2-1 所示.

对于试验 2，如果用 h 表示 “正面朝上”，t 表示 “反面朝上”，例如用 tth 表示第 3 次才出现 “正面朝上”，则样本空间

$\Omega_ {2} = \{\mathrm{h}, \mathrm{th}, \mathrm{tth}, \mathrm{ttth}, \dots \},$

$\Omega_{2}$ 包含无穷多个样本点. 各样本点与变量 Y 的值的对应关系如图 7.2-2 所示.

在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应．变量 $X$ ， $Y$ 有如下共同点：

(1) 取值依赖于样本点;

(2) 所有可能取值是明确的.

一般地，对于随机试验样本空间 $\Omega$ 中的每个样本点 $\omega$ ，都有唯一的实数 $X(\omega)$ 与之对应，我们称 X 为随机变量 (random variable)。试验 1 中随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，共有 4 个值；试验 2 中随机变量 Y 的可能取值为 1，2，3，…，有无限个取值，但可以一一列举出来。像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量 (discrete random variable)。通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 x，y，z。

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随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫（Chebyshev，1821—1894）在19世纪中叶建立和提倡使用的.

不难发现，随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点 $\omega$ 相当于函数定义中的自变量，而样本空间 $\Omega$ 相当于函数的定义域，不同之处在于 $\Omega$ 不一定是数集。随机变量的取值 $X(\omega)$ 随着试验结果 $\omega$ 的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件。

现实生活中，离散型随机变量的例子有很多。例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数 X，它的可能取值为 0，1，2，…，10；某网页在 24 h 内被浏览的次数 Y，它的可能取值为 0，1，2，…；等等。

现实生活中还有大量不是离散型的随机变量的例子。例如，种子含水量的测量误差 $X_{1}$；某品牌电视机的使用寿命 $X_{2}$；测量某一个零件的长度产生的测量误差 $X_{3}$。这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量。本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量。

你能再举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子吗？

根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题。例如，掷一枚质地均匀的骰子，$X$ 表示掷出的点数，则事件“掷出 $m$ 点”可以表示为 $\{X = m\}$ ($m = 1, 2, 3, 4, 5, 6$)，事件“掷出的点数不大于 $2$”可以表示为 $\{X \leqslant 2\}$，事件“掷出偶数点”可以表示为 $\{X = 2\} \cup \{X = 4\} \cup \{X = 6\}$，等等。由掷出各种点数的等可能性，可得

$P (X = m) = \frac {1}{6}, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6.$

这一规律可以用表 7.2-1 表示.

一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，我们称 X 取每一个值 $x_{i}$ 的概率

$P (X = x _ {i}) = p _ {i}, i = 1, 2, \dots , n$

为 X 的概率分布列，简称分布列.

与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示(表7.2-2)，还可以用图形表示。例如，图7.2-3直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数 $X$ 的分布列，称为$X$ 的概率分布图。

根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质：

(1) $p_{i}\geqslant0,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n;$

图7.2-3

(2) $p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1.$

利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率。例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为

$P (X \leqslant 2) = P (X = 1) + P (X = 2) = \frac {1}{6} + \frac {1}{6} = \frac {1}{3}.$

类似地，事件“掷出偶数点”的概率为

$P (\{X = 2 \} \cup \{X = 4 \} \cup \{X = 6 \})$

$\begin{array}{l} = P (X = 2) + P (X = 4) + P (X = 6) \\ = \frac {1}{6} + \frac {1}{6} + \frac {1}{6} = \frac {1}{2}. \end{array}$

例 1 一批产品中次品率为 5%，随机抽取 1 件，定义

$X = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {抽到次品,} \\ 0, & \text {抽到正品.} \end{array} \right.$

求 X 的分布列.

解：根据 $X$ 的定义， $\{X = 1\} =$ “抽到次品”， $\{X = 0\} =$ “抽到正品”， $X$ 的分布列为

$P (X = 0) = 0. 9 5, P (X = 1) = 0. 0 5.$

对于只有两个可能结果的随机试验，用 A 表示 “成功”， $\overline{A}$ 表示 “失败”，定义

$X = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & A \text {发生,} \\ 0, & \overline {{A}} \text {发生.} \end{array} \right.$

如果 $P(A)=p$ ，则 $P(A)=1-p$ ，那么 X 的分布列如表 7.2-3 所示.

我们称 $X$ 服从两点分布（two-point distribution）或0-1分布。实际上，$X$ 为在一次试验中成功（事件 $A$ 发生）的次数（0或1）。像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述。

例 2 某学校高二年级有 200 名学生，他们的体育综合测试成绩分 5 个等级，每个等级对应的分数和人数如表 7.2-4 所示.

从这 200 名学生中任意选取 1 人，求所选同学分数 X 的分布列，以及 $P(X \geqslant 4)$ .

解：由题意知， $X$ 是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且$\{X = 1\} =$ “不及格”， $\{X = 2\} =$ “及格”， $\{X = 3\} =$ “中等”， $\{X = 4\} =$ “良”，$\{X = 5\} =$ “优”。根据古典概型的知识，可得 $X$ 的分布列，如表7.2-5所示。

$P (X \geqslant 4) = P (X = 4) + P (X = 5) = \frac {1}{5} + \frac {3}{2 0} = \frac {7}{2 0}.$

例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.

解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为 $X$ ，则 $X$ 的可能取值为0，1，2．根据古典概型的知识，可得 $X$ 的分布列为

$P (X = 0) = \frac {\mathrm{C} _ {3} ^ {0} \mathrm{C} _ {7} ^ {2}}{\mathrm{C} _ {1 0} ^ {2}} = \frac {7}{1 5}, P (X = 1) = \frac {\mathrm{C} _ {3} ^ {1} \mathrm{C} _ {7} ^ {1}}{\mathrm{C} _ {1 0} ^ {2}} = \frac {7}{1 5}, P (X = 2) = \frac {\mathrm{C} _ {3} ^ {2} \mathrm{C} _ {7} ^ {0}}{\mathrm{C} _ {1 0} ^ {2}} = \frac {1}{1 5}.$

用表格表示 X 的分布列，如表 7.2-6 所示.

练习

1. 举出两个离散型随机变量的例子.

2. 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.

(1) 抛掷 2 枚骰子，所得点数之和；

(2) 某足球队在 5 次点球中射进的球数;

（3）任意抽取一瓶标有 $1500 \, mL$ 的饮料，其实际含量与规定含量之差.

3. 篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的分布列。

4. 抛掷一枚质地均匀的硬币 2 次，写出正面向上次数 X 的分布列.

习题7.2

复习巩固

1. 张同学从学校回家要经过 4 个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯.

(1) 写出随机试验的样本空间;

（2）设他可能遇到红灯的次数为 X，写出 X 的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件.

2. 某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为

试说明该同学的计算结果是否正确.

3. 在某项体能测试中，跑 $1\mathrm{km}$ 时间不超过 $4\mathrm{min}$ 为优秀。某位同学跑 $1\mathrm{km}$ 所花费的时间 $X$ 是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？

4. 某位射箭运动员命中目标箭靶的环数 $X$ 的分布列为

如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？

综合运用

5. 老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格. 某位同学只能背诵其中的 6 篇，求：

（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；

(2) 他能及格的概率.

6. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会。一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会。李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：

（1）李明在一年内参加考试次数 $X$ 的分布列；

(2) 李明在一年内领到资格证书的概率.