方差随参数的变化

题型说明

• 常见问法：给一张带参数的分布列（某个取值是 $a$，或某个概率是 $p$），问参数在某区间内增大时 $D(X)$（或 $E(X)$）「增大／减小／先增后减／先减后增」。
• 识别特征：题目不问具体数值，只问变化趋势——四个选项恰好是四种趋势。这说明要的不是一个数，而是一条关于参数的函数。
• 主线三步：
  1. 按定义（或简算式 $D(X)=E\left(X^{2}\right)-\left[E(X)\right]^{2}$）把 $D(X)$ 写成参数的表达式；
  2. 配方成 $A(a-h)^{2}+k$，读出开口方向与顶点横坐标 $h$；
  3. 看 $h$ 与题给区间的位置关系：$h$ 在区间内部才有「先减后增／先增后减」，$h$ 在区间外则整段单调。

常见陷阱

• 简算式减的是 $\left[E(X)\right]^{2}$，不是 $E(X)$——漏一个平方，配出来的抛物线整条错。
• 只算了 $D(X)$ 的表达式就凭直觉选「增大」：必须把顶点位置与区间比一次，否则分不清「单调」与「先减后增」。
• 端点开闭要看清：区间是开的时候，端点值只是极限，抛物线在端点处取不到——但这不影响趋势的判断。
• 别把「方差」当「期望」：期望多为参数的一次函数（单调），方差才是二次的，两者的答案形状完全不同。

一句话抓手

趋势题 = 把数字特征写成参数的函数；配完方之后，答案全写在「顶点在区间里还是区间外」这一句上。