两点分布的方差当成随p单调

只取 $0$、$1$ 两个值的随机变量（两点分布），一切都由一个 $p=P(\xi=1)$ 决定：

$E$ 是一条直线，在 $[0,1]$ 上一路上升；$D$ 却是一条开口向下的抛物线， 顶点在 $p=\dfrac12$，最大值 $\dfrac14$。于是：

错法长什么样。 记住了「$E$ 大的那个 $D$ 也大」，或者反过来记成「$p$ 越大越确定、方差越小」—— 两句话各对一半：前者只在 $p<\dfrac12$ 时成立，后者只在 $p>\dfrac12$ 时成立。 两个都是半边真理，而题目会明确把 $p$ 关在某一边，专等你用错那一半。

怎么防。 见到「比较两个两点分布的方差」，先做一件事： 把两个 $p$ 与 $\dfrac12$ 的位置关系标出来。

• 两个都在 $\dfrac12$ 左边 $\Rightarrow$ $p$ 大的方差也大；
• 两个都在右边 $\Rightarrow$ $p$ 大的方差反而小；
• 一左一右 $\Rightarrow$ 比 $p$ 没用，要比谁离 $\dfrac12$ 更近——近的那个方差大。

第三种情形是最容易漏的：此时 $E$ 的大小与 $D$ 的大小之间没有任何固定关系。

背后的道理值得记一句。 方差量的是「不确定程度」。$p$ 靠近 $0$ 或 $1$ 时结果几乎已成定局， 方差小；$p=\dfrac12$ 时最难猜，方差最大。所以决定方差大小的从来不是 $p$ 本身， 而是它离 $\dfrac12$ 有多远。

用在本题

浙江 2017 第 8 题给的条件是 $0<p_1<p_2<\dfrac12$——两个 $p$ 都在左半边， 所以 $E$ 与 $D$ 同向，$E(\xi_1)<E(\xi_2)$ 且 $D(\xi_1)<D(\xi_2)$。 选项 B 与 C 把两个不等号写成反向，正是拿「另外半边」的结论来钓人。