浙江 2014 · 数学 q09

题面

9. 已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 $(m \geq 3, n \geq 3)$ ，从乙

盒中随机抽取 $i (i = 1,2)$ 个球放入甲盒中.

（a）放入 $i$ 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 $\xi_{i}(i = 1,2)$

（b）放入 $i$ 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 $p_i (i = 1,2)$ 则（） A. $p_1 > p_2, E(\xi_1) < E(\xi_2)$ B. $p_1 < p_2, E(\xi_1) > E(\xi_2)$ C. $p_1 > p_2, E(\xi_1) > E(\xi_2)$ D. $p_1 < p_2, E(\xi_1) < E(\xi_2)$

$p_{2} = \frac{C_{n}^{2}}{C_{m + n}^{2}} \cdot \frac{1}{3} + \frac{C_{m}^{1} C_{n}^{1}}{C_{m + n}^{2}} \cdot \frac{2}{3} + \frac{C_{m}^{2}}{C_{m + n}^{2}} = \frac{3 m^{2} - 3 m + 2 m n + n^{2} - n}{3 (m + n) (m + n - 1)}$

$\therefore p_{1} - p_{2} = \frac{2 m + n}{2 (m + n)} - \frac{3 m^{2} - 3 m + 2 m n + n^{2} - n}{3 (m + n) (m + n - 1)} = \frac{5 m n + n (n - 1)}{6 (m + n) (m + n - 1)} > 0 \quad ,$

故 $p_{1}>p_{2}$

又∵ $P(\xi_{1}=1)=\frac{n}{m+n}$ ， $P(\xi_{1}=2)=\frac{m}{m+n}$

$\therefore E (\xi_{1}) = 1 \times \frac{n}{m + n} + 2 \times \frac{m}{m + n} = \frac{2 m + n}{m + n}$

$P (\xi_{2} = 1) = \frac{C_{n}^{2}}{C_{m + n}^{2}} = \frac{n (n - 1)}{(m + n) (m + n - 1)}$

$P (\xi_{2} = 2) = \frac{C_{n}^{1} C_{m}^{1}}{C_{m + n}^{2}} = \frac{2 m n}{(m + n) (m + n - 1)}$

$P (\xi_{2} = 3) = \frac{C_{m}^{2}}{C_{m + n}^{2}} = \frac{m (\mathrm{m} - 1)}{(m + n) (m + n - 1)}$

$\therefore E (\xi_{2}) = 1 \times \frac{n (n - 1)}{(m + n) (m + n - 1)} + 2 \times \frac{2 m n}{(m + n) (m + n - 1)} + 3 \times \frac{m (m - 1)}{(m + n) (m + n - 1)}$

$= \frac{3 m^{2} + n^{2} - 3 m - n + 4 m n}{(m + n) (m + n - 1)}$

$E (\xi_{2}) - E (\xi_{1}) = \frac{3 m^{2} + n^{2} - 3 m - n + 4 m n}{(m + n) (m + n - 1)} - \frac{2 m + n}{m + n} = \frac{m (m - 1) + m n}{(m + n) (m + n - 1)} > 0$

所以 $E(\xi_{2}) > E(\xi_{1})$ ，故选 A

答案

A

【解析 2】：在解法 1 中取 m = n = 3 ，计算后再比较。