最小值为k当成含有k

坑长什么样

$7$ 张卡片 $1,2,2,3,4,5,6$ 抽 $3$ 张，求「最小值 $\xi=2$」的取法数。

• 错：「含有 $2$ 就行」→ $\mathrm{C}_6^3-\mathrm{C}_4^3$ 之类地在全部 $7$ 张里数含 $2$ 的取法，得 $\mathrm{C}_7^3-\mathrm{C}_5^3=35-10=25$；
• 对：含 $2$ 且不含 $1$ → 在 $\{2,2,3,4,5,6\}$ 这 $6$ 张里数含 $2$ 的：$\mathrm{C}_6^3-\mathrm{C}_4^3=20-4=16$。

差出来的 $9$ 种，正是「既取到 $2$、又取到 $1$」的那些——它们的最小值是 $1$，不是 $2$。

为什么容易犯

题面把 $\xi$ 定义成「最小值」，读到 $\xi=2$ 时脑子里浮现的却是「有一张 $2$」。「最小值是 $k$」是两个条件的合取：

漏掉的永远是后半句。

怎么防

• 先划池子，再数。 定住 $\xi=k$ 的第一件事是把号码 $<k$ 的全部踢出去，在剩下的池子里数「至少一个 $k$」。池子划对了，第二个条件自动满足。
• 自查概率和。 各 $P(\xi=k)$ 加起来必须是 $1$。按「含有 $k$」去数，加起来会大于 $1$（同一次抽取被算进好几个 $k$ 里）——这个自查一秒钟就能戳穿它。
• 最大值型同理：「最大值为 $k$」= 至少取到一个 $k$ 且 一个大于 $k$ 的都没有。