按路径条数当成等可能

错在哪

古典概型的公式 $P=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ 有一个前提：那 $n(\Omega)$ 个样本点等可能。 在树形图、管道图、状态转移图上数路径时，这个前提常常不成立——

每一条路径的概率是它经过的分叉次数决定的：每过一个二选一的分叉乘一次 $\dfrac12$， 过 $m$ 个分叉的那条路概率是 $\left(\dfrac12\right)^{m}$。 两条路径等可能，当且仅当它们的 $m$ 相同。

于是「哪个出口的路多」与「哪个出口的概率大」是两件事：一条 $m=2$ 的短路， 抵得上四条 $m=4$ 的长路。

一个会当场露馅的例子

浙江 2010 年那道管道投球题：从 $M$ 到三个出口的通路条数是 $C$ 三条、$B$ 两条、$A$ 两条。 按条数算是 $\dfrac{3}{7},\dfrac{2}{7},\dfrac{2}{7}$；按分叉次数老实算是

三个数没有一个对得上。注意两套数的和都是 $1$——「概率和为 $1$」查不出这个错。

三条挡住它的动作

1. 先问一句「这些路一样长吗」。 路径长度（分叉次数）不全相同，就不许按条数算， 老实给每条路写 $\left(\dfrac12\right)^{m}$ 再相加。
2. 让分母暴露出来。 把每条路径的概率写成同分母的分数（本例都化成 $\dfrac{\cdot}{16}$）， 几条路加起来是几，一目了然；写成 $\dfrac{3}{7}$ 这种分母不是 $2$ 的幂的数，本身就是警报。
3. 等可能只在最细的那一层才成立。 真要用「数个数」的办法，就把每条短路补齐到最长路径的长度 （短路后面的分叉照分、结果不变），这时所有叶子才真正等可能，数个数才对。