等分点当成一定踩得到极值点

错在哪

把 $[a,b]$ 等分成 $N$ 份，分点是 $a_i=a+\dfrac{i}{N}(b-a)$。函数的峰在 $x_0$， $x_0$ 是不是分点，取决于 $\dfrac{N(x_0-a)}{b-a}$ 是不是整数——这是一个整除问题，和函数本身没关系。

踩不到时会发生什么：凡是「按峰谷落差算出来」的量（折线长度、$\sum|\Delta f|$、内接折线的高度和……）， 真实值都严格小于用真峰算出的值。差多少取决于分点离峰有多近，可以小到看不见，但符号是定的。

翻车现场

2014 年浙江卷（理）第 10 题把 $[0,1]$ 等分成 99 份，比三个 $I_k=\sum_{i=1}^{99}|f_k(a_i)-f_k(a_{i-1})|$：

• $f_2(x)=2(x-x^2)$ 的峰在 $x=\dfrac12$。$99$ 是奇数，$\dfrac12=\dfrac{49.5}{99}$ 不是分点， 最近的两个分点 $\dfrac{49}{99}$、$\dfrac{50}{99}$ 各差 $\dfrac{1}{198}$。 于是 $I_2=2f_2\!\left(\dfrac{49}{99}\right)=\dfrac{9800}{9801}$，而不是 $2\times\dfrac12=1$。
• $f_1(x)=x^2$ 全程单调，$I_1=f_1(1)-f_1(0)=1$ 与分点无关。

$I_1$ 与 $I_2$ 的大小，就靠这 $\dfrac{1}{9801}$ 分出来。默认「分点踩到峰」的人算出 $I_1=I_2=1$， 四个选项里没有一条写着相等，只能瞎猜。

同一道题里 $f_3(x)=\dfrac13|\sin 2\pi x|$ 更狠：峰在 $\dfrac14$、$\dfrac34$，谷在 $\dfrac12$， $99$ 不被 $4$ 整除也不被 $2$ 整除，三处全踩空——连谷底都没落到 $0$ 上。

怎么防

• 看到「等分成 $N$ 份」，先把极值点的位置乘上 $N$，看是不是整数。一秒钟的事。
• 踩不到时不要慌：结论的方向是确定的（按峰算出来的是上界，真实值严格更小）， 多数选择题只需要这个方向。
• 反过来也要警惕：出题人选 $N$ 常常就是为了让它踩不到——$N$ 取得越”怪”（奇数、质数）， 越是在提醒你这一点。