否定时只翻量词没翻结论

错在哪

$\forall x\in M,\ p(x)$ 的否定是 $\exists x\in M,\ \neg p(x)$。两处一起变。 只把量词换掉，写成 $\exists x\in M,\ p(x)$，得到的是一个弱得多的命题：

• 原命题「$\forall x\in\mathbf R,\ x^{2}\geqslant0$」为真；
• 半截活「$\exists x\in\mathbf R,\ x^{2}\geqslant0$」也为真。

一个命题和它的否定必须一真一假，两个同时为真，说明写错了。

反过来的半截活同样常见：量词不动、只把结论取反，写成 $\forall x\in M,\ \neg p(x)$。 这是「全都不满足」，比「不是全都满足」强得多—— 「不是所有的素数都是奇数」是真的，「所有的素数都不是奇数」是假的。

正确做法

1. 动笔前先把命题分段：外层量词 / 内层量词 / 结论。两个量词的题就是三段。
2. 逐段处理：每个量词换一种，最后一段取反。段数对上了才收工。
3. 结论取反要精确：$\geqslant$ 的否定是 $<$（不是 $\leqslant$），$=$ 的否定是 $\neq$， 「都是」的否定是「不都是」（不是「都不是」）。

怎么避免

• 一真一假自查：把原命题与你写的否定各判一次真假。同真或同假，必错。
• 选择题里，四个选项常常就是「只翻量词」「只翻结论」「翻了外层没翻内层」「全翻」这四种半成品， 逐位对照比凭感觉挑快得多。
• 口诀：量词换种，结论取反，范围不动，次序不换。