动点在弦上不在圆上

坑长什么样

「$P$ 在单位圆的内接正八边形的边 $A_1A_2$ 上」——$|OP|$ 是多少？

• 错甲：$P$ 在单位圆里的图形上，就当 $|OP|=1$ → 答案退化成一个数；
• 错乙：$P$ 在圆内，就写 $0\le|OP|\le1$ → 下界白送了一大截；
• 对：$P$ 跑遍一条弦，$|OP|$ 从「$O$ 到这条弦的距离」变到「弦的端点到 $O$ 的距离」，即

本题 $n=8$、$R=1$：$\cos22.5^\circ\le|OP|\le1$，$|OP|^2\in\left[\dfrac{2+\sqrt2}{4},\,1\right]$。

为什么下界不是 0

$O$ 是圆心，弦不过圆心，所以 $P$ 够不到 $O$。离 $O$ 最近的位置是垂足（弦的中点），最远的位置是两个端点。$|OP|$ 在这两者之间连续变化，因此取值是一整个闭区间。

怎么防

1. 画一条弦，把 $O$ 标上，问自己：$P$ 沿弦滑动，离 $O$ 最近/最远各在哪里？
2. 最近点是垂足——前提是垂足落在这条线段内。弦的垂足就是弦的中点，永远在内；若换成一般线段，垂足可能落在段外，那时最近点是某个端点。
3. 两端点到 $O$ 的距离若不相等（一般弦以外的线段），最大值取两端点中较远的那个。
4. 代数上也能验：把 $P$ 参数化成 $P=A_1+t(A_2-A_1)$，$|OP|^2$ 是关于 $t$ 的开口向上的二次函数，$t\in[0,1]$，最小在对称轴、最大在端点——与图上看到的一致。