隐式递推的方向搞反

易错点

绝大多数递推题写的是

——已知的在右边，要求的在左边，拿到 $a_1$ 就能一路往后算。看多了会形成肌肉记忆： 看到递推式就往里代前一项。

但有一类题把它反过来写：

这时已知的在左边，要求的在右边。给了 $a_1$，$a_2$ 不是「代进去算」出来的，而是要解方程 $F(a_2)=a_1$ 才能得到。方向搞反、直接把 $a_1$ 代进 $F$，算出来的既不是 $a_2$ 也不是任何一项。

怎么察觉

拿到递推式先问一句：下标大的那个，站在等号哪一边？

• 站在右边 → 反向递推，$a_{n+1}$ 是未知数，要解方程；
• 站在左边 → 正向递推，直接代。

反向递推还有两件事要顺手确认：

1. 解存不存在、唯不唯一。这几乎总是靠 $F$ 在相应区间上严格单调：单调就是双射， 方程 $F(a_{n+1})=a_n$ 有且只有一个根，数列才真的被定义出来。
2. 单调性的方向会跟着翻。$F$ 严格增时，$a_n=F(a_{n+1})$ 且 $F(t)>t$ 就直接给出 $a_n>a_{n+1}$——数列是递减的，哪怕递推式看着像在「往上加」。

一个典型场景

$a_n=a_{n+1}+\ln(1+a_{n+1})$，$a_1=1$。

• 正向代（错）：$a_2=1+\ln 2\approx1.693$——比 $a_1$ 还大。
• 反向解（对）：解 $t+\ln(1+t)=1$ 得 $a_2\approx0.557$——比 $a_1$ 小。

两个结果一个变大一个变小，连单调方向都反了，后面每一步都跟着废掉。这类题往往没有通项， 全靠单调性和放缩往下推，方向一错，越推越远。