过某点的切线与在某点处的切线混同

坑长什么样

求「过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=x^{3}$ 的切线」。

• 错：把 $(1,0)$ 当切点，算 $f'(1)=3$，答 $y=3(x-1)$ ——只得到一条，而且它根本不是切线 （$(1,0)$ 不在曲线上，$f(1)=1\ne0$）。
• 对：设切点 $\left(t,t^{3}\right)$，切线 $y=t^{3}+3t^{2}(x-t)$ 过 $(1,0)$：

两条切线：$y=0$ 与 $y=\dfrac{27}4x-\dfrac{27}4$。

两句话的区别

「过」字是信号：切点未知，必须另设字母。切点设成 $t$ 之后，「过 $P$」这句话变成一个关于 $t$ 的方程，条数就是根的个数（见套路「切线条数化为方程根的个数」）。

怎么防

1. 读到「过」就设切点，读到「在……处」才直接用那个点。
2. 验一验 $P$ 在不在曲线上：不在，就绝不可能是切点，此时错法当场露馅。
3. $P$ 在曲线上时最危险——两种读法都讲得通，而答案不同：「在 $P$ 处」只有那一条， 「过 $P$」还可能有以别处为切点、恰好经过 $P$ 的切线。这时按题目字面取，并把另一种情形算一遍看有没有。
4. 答案条数与预期不符时，回头查的第一件事就是这里。

用在本题

浙江 2022 q22(2)：三点处的切线都经过点 $(a,b)$。所以 $(a,b)$ 不是切点， 三个切点是 $x_1,x_2,x_3$；而且题目没说 $(a,b)$ 在曲线上（一般不在）。 把 $(a,b)$ 当切点，整道题从第一行就错了。