切线条数化为方程根的个数

解题套路

问「过点 $(a,b)$ 能向曲线 $y=f(x)$ 作几条切线」时，切线不是未知量，切点才是。

1. 设切点：切点横坐标记 $t$（不是 $a$！$(a,b)$ 一般不在曲线上）。
2. 写切线：$y=f(t)+f'(t)(x-t)$。
3. 代定点：把 $(a,b)$ 代进去，得到一个只含 $t$ 的方程

4. 数根：整理成 $g(t)=0$（常取 $g(t)=f'(t)(t-a)-f(t)+b$），用 $g'$ 定出 $g$ 的单调区间与极值， 按「极值的符号 + 两端的极限」数零点。

切线条数 = 这个方程的不同实根个数。 一根一条，一一对应。

为什么必须这样绕

「过 $(a,b)$ 的切线」这句话里，$(a,b)$ 只是被经过的点，它通常不是切点，也可能根本不在曲线上。 直接写「在 $(a,b)$ 处的切线」是另一回事（见易错点「过某点的切线与在某点处的切线混同」）。 真正决定一条切线的是切点，所以未知量只能设在切点上。

第 4 步之所以要用导数再来一轮，是因为 $g$ 本身往往比 $f$ 还复杂——这道题里套着两层导数： $f'$ 用来写切线，$g'$ 用来数 $g$ 的零点。

反向用法

题目反过来说「已知过 $(a,b)$ 有三条切线」时，这句话就是条件：它等价于 $g$ 有三个不同零点， 于是给出关于 $a,b$ 的不等式（三次型的典型形态是「极小值 $<0$ 且极大值 $>0$」）。求 $b$ 的范围、 证 $b$ 的估计式，都从这里出发。

用在本题

浙江 2022 q22(2)：$f(x)=\dfrac{\mathrm e}{2x}+\ln x$，过 $(a,b)$ 有三条切线。 令 $g(x)=f'(x)(x-a)-f(x)+b=1-\dfrac{a+\mathrm e}{x}+\dfrac{\mathrm ea}{2x^{2}}-\ln x+b$， 则 $g'(x)=-\dfrac{(x-a)(x-\mathrm e)}{x^{3}}$，两个极值点恰是 $x=a$ 与 $x=\mathrm e$； 「三条切线」⟺「$g$ 有三个零点」⟺ 极小值 $<0$ 且极大值 $>0$，这一步把整道压轴题打开。