两个动量当成互相独立

错法长什么样

题目给出 $1\le x\le 3$、$1\le y\le 3$，问 $x+y$ 的取值范围。

• 看着像：$x$ 最小 $1$、$y$ 最小 $1$，所以 $x+y$ 最小 $2$；同理最大 $6$。
• 可实际上 $x$、$y$ 还满足 $x^{2}+y^{2}=10$。这条等式把可行域从一个 $2\times2$ 的正方形 压成正方形里的一段圆弧，$x+y$ 的真实范围是 $\left[4,\,2\sqrt5\,\right]$—— 上下界都比「独立」算出来的窄得多。

$x=1$ 与 $y=1$ 根本不能同时成立（$1+1\neq10$），所以那个 $2$ 压根取不到。

判据：数一数自由度

• 有几个自由参数？ 本例里只有一个（向量的夹角），所以可行点排成一条曲线，不是一块面积。
• 有没有一条等式把它们绑住？ 有等式就一定不独立。等式有几条，自由度就少几个。

怎么防

1. 先写出约束，再找最值。 把「$x$、$y$ 还满足什么」写在纸上，哪怕只是一句 $x^2+y^2=10$。
2. 画可行域。 一维的（曲线）与二维的（区域）画出来就不会混。最值在曲线的端点或切点上， 而不是在矩形的四个角上。
3. 回代验证端点。 声称最小值在 $(x,y)=(1,1)$ 处取到，就把它代回所有约束； 代不进去说明这个点不在可行域里。

反过来也要小心

真正独立时（比如 $x$、$y$ 分别由两枚互不相干的骰子给出），端点组合就是对的。 判据只有一条：有没有把它们联系起来的等式。