翻折时把旋转半径取错

坑长什么样

$\triangle ABD$ 沿 $BD$ 折起成 $\triangle PBD$（于是 $PD=DA$、$PB=BA$）。问 $P$ 最高能离底面多远？

顺手写：「$PD=DA=t$，所以最高就是 $t$。」

错。 $P$ 绕的是直线 $BD$，不是点 $D$。它画出的圆在垂直于 $BD$ 的平面里， 圆心是 $A$ 在直线 $BD$ 上的垂足 $F$，半径是 $AF$——也就是 $A$ 到直线 $BD$ 的距离。 于是

只有当 $DA\perp BD$ 时垂足才恰好落在 $D$ 上、$AF$ 才等于 $t$。一般情况下 $AF<t$， 把 $t$ 当高会把体积算大。

为什么半径一定是「到轴的距离」

绕轴旋转保持每个点到轴的距离不变，也保持它在轴方向上的投影不变。 所以 $P$ 的轨迹是一个圆：圆心在轴上（就是垂足 $F$），所在平面垂直于轴，半径 $=AF$。 底面 $ABC$ 包含轴 $BD$，故 $P$ 到底面的距离 $=AF\cdot|\sin\varphi|\leqslant AF$， 其中 $\varphi$ 是折起后的二面角。等号在折起面垂直于底面时取到。

怎么躲

• 先问一句「轴是哪条直线」，再求那个点到这条直线的距离。求距离最快的办法是面积法： $\text{距离}=\dfrac{2\times\text{三角形面积}}{\text{轴上那条边的长}}$。
• 垂足可能落在线段外。上例里 $t\neq\sqrt3$ 时垂足就跑到了 $BD$ 的延长线上—— 这不影响结论，距离仍按面积法算，但画图时别硬把垂足塞进线段里。
• 同一个坑的反面：也别把 $PB=BA$ 当高。$B$ 在轴上，$PB$ 压根不是半径。