球心当成底面外心

错在哪

「球心到 $A$、$B$、$C$ 三点等距」这句话是对的，由它推出「球心在底面上的射影是 $\triangle ABC$ 的外心」也是对的—— 但这两句话都没说球心就在底面上。射影是外心，说的是球心站在过外心且垂直于底面的那条直线上， 它可以沿这条直线往上走任意一段。走多远由第四个顶点决定，与前三个顶点无关。

把这一段距离记作 $d$，设 $O$ 是球心、$O'$ 是它在底面上的射影，则对底面上任一顶点 $A$：

——最后一步用的是 $OO'\perp$ 底面，于是 $OO'\perp O'A$，直角三角形 $OO'A$ 的勾股定理。 所以 $R\geqslant r$，等号只在 $d=0$、也就是第四个顶点恰好也在底面上（四点共面，根本围不出锥体）时才成立。

一个立刻能看出差别的例子

三棱锥 $D\text{-}ABC$：$\triangle ABC$ 是直角边为 $1$ 的等腰直角三角形（直角在 $B$），$DA\perp$ 底面且 $DA=2$。

• 底面外心是斜边 $AC$ 的中点，$r=\dfrac{\left|AC\right|}{2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$；
• 球心在它正上方 $d=\dfrac{\left|DA\right|}{2}=1$ 处（$O$ 到 $A$、$D$ 等距 $\Rightarrow$ 它在 $AD$ 的垂直平分面上）；
• 真实半径 $R=\sqrt{r^{2}+d^{2}}=\sqrt{\dfrac12+1}=\dfrac{\sqrt6}{2}\approx1.22$。

拿 $r\approx0.71$ 冒充 $R$，体积会差 $\left(\dfrac{R}{r}\right)^{3}=\left(\sqrt3\right)^{3}\approx5.2$ 倍。 半径进的是三次方，这一步错，答案就不是「差一点」而是差一个量级。

怎么防

• 写下 $R$ 之前先问一句：第四个顶点用上了吗？ 只用了底面三点的半径必然是 $r$，不可能是 $R$。
• 记住那条恒等式的形状：$R^{2}=r^{2}+d^{2}$。它只是勾股定理换了身衣服，$d$ 是球心到底面的距离。
• 顶点在底面的射影恰好落在外心上（例如正三棱锥）时，$d=\dfrac{h}{2}$ 这类漂亮结论才成立； 射影不在外心上时 $d$ 得另算，别把某一类图形的现成公式当成通用的。