展开图的半径与弧长对应错

坑长什么样

「圆锥的侧面展开图是半径为 $2$ 的半圆」——这句话里的 $2$ 是母线，不是底面半径。 展开图与立体之间只有两条对应，写在纸上就三行：

常见的三种错法：

• 把扇形半径当成底面半径：上例会直接答 $r=2$，而真答案是 $r=1$。
• 把弧长当成底面半径（或直径）：漏掉那个 $2\pi$，$r$ 差出 $2\pi$ 倍。
• 把扇形的圆心角当成 $2\pi$：展开图的圆心角 $\theta=\dfrac{2\pi r}{l}$ 一般不是一整圈—— 只有 $l=r$（退化）时才是，正常圆锥 $l>r$，故 $\theta<2\pi$。

自检

写完先问两句：我这个半径是母线还是底面半径？我这段弧对应的是圆锥上的哪一圈？ 更省事的自检是量纲式的：底面周长里必须带 $2\pi$，母线里不带； 所以「弧长 $=$ 底面周长」写出来一定是「$\theta l = 2\pi r$」这种两边都有一个长度乘一个角的形状。 最后把算出的 $r$、$l$ 代回 $S_{\text{侧}}=\pi rl$，看是不是题给的那个数——对应错了，这一步必然对不上。