浙江 2020 · 数学 q14

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2020 · 数学 q14 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案）

题面

14．已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为

答案

1

本题的知识树

2 概念 · 1 公式 · 1 题型 · 1 套路 · 1 易错点 · 最深 3 层。长链是构建期派生的，源文件里只有最小一步。

攻略（零基础 → 会做）

圆锥展开图是半圆 · 顺着展开图两步走，或先把「半圆」翻译成 l=2r · 最终答案：1

转着看 · 换个机位再判断

圆锥：侧面沿一条母线切开摊平恰好是个半圆（半径就是母线 ll、弧就是底面那一圈）⟹ 12πl2=2π\frac{1}{2}\pi l^{2}=2\pi 给出 l=2l=2，πl=2πr\pi l=2\pi r 给出 r=1r=1，再由 l2=r2+h2l^{2}=r^{2}+h^{2} 得 h=3h=\sqrt{3}；l=2rl=2r ⟺ 轴截面等边（顶角 60∘60^\circ、母线与底面也成 60∘60^\circ）——「展开图是半圆」就是这个形状。。那半张纸就是这张侧面本身：沿母线 SASA 剪开摊平，与圆锥共用顶点 SS 与母线 SASA，并摆在过轴、过底面圆心 OO 的那张平面里——正对轴截面看，等边三角形与半圆同时是真实形状：半径是母线 ll，弧与底面那一圈一样长

机位自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：一句话题面里有三个「半径」，别混

题面只有一句：侧面展开图的面积是 2π2\pi，且这个展开图是半圆，求底面半径。 先把话里的名词摆清楚——本题的全部难度就在这里：

  • 展开图的半径：把侧面沿一条母线切开摊平，得到一个扇形；这个扇形的半径就是母线 ll。
  • 展开图的弧长：那段弧原来是绕着底面贴了一圈，所以它等于底面周长 2πr2\pi r。
  • 展开图的面积：切开摊平不改变面积，所以它就是侧面积。

于是「是半圆」这句话给的是形状（圆心角 π\pi），「面积 2π2\pi」给的是大小。 两句话各管一件事：一句定 ll 与 rr 的比，一句定它们的绝对大小。

关键卡点：展开图与立体之间只有两条对应——半径 ↔\leftrightarrow 母线、 弧长 ↔\leftrightarrow 底面周长。这两条一写下来，题目就只剩算术。

解法一：顺着展开图走：先求母线，再让弧长等于底面周长

怎么想到的。 题目给的是展开图的面积，那就先在展开图上把能算的算完（半圆的半径 == 母线）， 再用唯一那座桥（弧长 == 底面周长）过到立体上。这条路和官方解析一致，两步，不需要任何公式记忆。

① 半圆的面积就是侧面积，解出母线。 半径为 ll 的半圆，面积是整圆的一半：

12πl2=2π ⟹ l2=4 ⟹ l=2(l>0).\frac{1}{2}\pi l^{2}=2\pi \ \Longrightarrow\ l^{2}=4 \ \Longrightarrow\ l=2 \quad (l>0).

② 半圆的弧长就是底面周长，解出底面半径。 半径为 ll 的半圆，弧长是整圈的一半：

πl=2πr ⟹ 2π=2πr ⟹ r=1.\pi l = 2\pi r \ \Longrightarrow\ 2\pi = 2\pi r \ \Longrightarrow\ r=1 .

③ 回代验一次（十秒）。 S侧=πrl=π×1×2=2πS_{\text{侧}}=\pi r l=\pi\times 1\times 2=2\pi ✓ 正是题给的数。 顺手还能得到高 h=l2−r2=3h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt3——这一问没问，但同类题的下一小问多半要它。

解法二：先把「半圆」翻译成 l=2r，一个方程解出半径

怎么想到的。 「展开图是半圆」是个形状条件，它其实等价于一句纯代数的话。 把它先翻译出来，剩下的就是一个方程一个未知量——这是展开图圆心角定母线与半径之比这条套路的全部内容。

① 翻译形状条件。 设展开图（扇形）的圆心角为 θ\theta，那座桥写成一般形式是 θl=2πr\theta l=2\pi r。 半圆即 θ=π\theta=\pi：

πl=2πr ⟹  l=2r .\pi l = 2\pi r \ \Longrightarrow\ \boxed{\,l=2r\,}.

② 代进侧面积公式，一个方程解完。 S侧=πrlS_{\text{侧}}=\pi r l，把 l=2rl=2r 代进去：

πr⋅2r=2πr2=2π ⟹ r2=1 ⟹ r=1(r>0),\pi r\cdot 2r = 2\pi r^{2}=2\pi \ \Longrightarrow\ r^{2}=1 \ \Longrightarrow\ r=1\quad (r>0),

顺带 l=2r=2l=2r=2。

③ 这条路多给的东西。 l=2rl=2r 一旦到手，圆锥的每个量都变成 rr 的单变量式子： h=l2−r2=3 rh=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt3\,r、V=13πr2h=33πr3V=\frac13\pi r^2h=\frac{\sqrt3}{3}\pi r^3、 S全=πr(r+l)=3πr2S_{\text{全}}=\pi r(r+l)=3\pi r^2。所以题目改问体积、全面积、高，都不必重新推。 还有一个好记的几何形态：l=2rl=2r 意味着轴截面的底 2r2r 与两腰 ll 相等—— 轴截面是等边三角形，顶角 60∘60^\circ，高 3 r\sqrt3\,r。

教学图：上半张把侧面沿一条母线切开摊平，画出半径 2 的半圆（水平那条直径的左右两半原是同一条母线——侧面就是沿它切开的），半圆内部标「半径 = 母线 l=2」与「面积 = ½πl² = 2π（题给）」，弧用粗蓝线标「弧长 = πl = 2π」；右边画出底面那个圆（半径 1），圆周用同一种粗蓝线标「底面周长 = 2πr = 2π」，一条弯箭头从半圆的弧指向底面圆，圆下方写出「πl = 2πr ⇒ r = 1」——两个 2π 是同一个数，一个是弧长、一个是周长。下半张画轴截面：顶角 60° 的等边三角形，两腰标「母线 l=2」、底被高分成两段各标「r=1」、虚线高标「h=√3」并带直角记号；右侧给出这条等价链：展开图是半圆 ⟺ πl=2πr ⟺ l=2r ⟺ 底与腰相等（轴截面等边），于是 r=1、l=2、h=√3

两条路差在哪

解法一：顺着展开图算解法二：先翻译成 l=2rl=2r
第一步算什么母线 ll（由半圆面积）ll 与 rr 的比（由半圆的圆心角）
用到的公式半圆的面积与弧长弧长 == 底面周长、S侧=πrlS_{\text{侧}}=\pi rl
未知量个数先 ll、再 rr，逐个解全程只有 rr
改问体积或高要再算一遍 hhh=3 rh=\sqrt3\,r 已在手上
换成「圆心角 120∘120^\circ」扇形面积公式要重列只把 l=2rl=2r 换成 l=3rl=3r

填空题两条都是十几秒。解法二的价值在可迁移：把形状条件先变成 l=krl=kr（半圆 k=2k=2、 120∘120^\circ 则 k=3k=3、四分之一圆则 k=4k=4），之后问什么都只剩一个未知量。

避坑

  • 把半圆的半径当成底面半径。 那会直接答 22。半圆的半径是母线，底面半径要靠弧长那座桥才算得出。
  • 用了表面积公式。 S全=πr(r+l)S_{\text{全}}=\pi r(r+l) 比侧面积多一个底面圆 πr2\pi r^{2}；题目说的是侧面积，只用 πrl\pi rl。 本题若误用全面积，会解出 3πr2=2π3\pi r^2=2\pi、r=23r=\sqrt{\frac{2}{3}} 这种不像答案的数——出现根式先回头查是不是用错了公式。
  • 半圆面积漏了那个 12\frac12。 写成 πl2=2π\pi l^{2}=2\pi 会得 l=2l=\sqrt2、r=22r=\frac{\sqrt2}{2}。 半圆的面积与弧长都是整圆的一半，两处都别忘。
  • 弧长与底面周长脱钩。 记住那座桥是 θl=2πr\theta l=2\pi r：左边是「角 ×\times 半径」，右边一定带 2π2\pi。 漏掉 2π2\pi，rr 就差出 2π2\pi 倍。
  • 母线与高混同。 本题的 22 是母线，高是 22−12=3\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt3。凡是「给母线求体积」或 「给高求侧面积」，都要先过 l2=r2+h2l^{2}=r^{2}+h^{2} 这一步。
  • 填空题的格式。 就填 11，不写单位、不写「r=1r=1」。

收口

一句话：展开图与立体之间只有两条对应——半径就是母线，弧长就是底面周长。 本题把这两条各用一次：半圆面积 12πl2=2π\frac12\pi l^2=2\pi 给出 l=2l=2， 半圆弧长 πl=2πr\pi l=2\pi r 给出 r=1r=1。 更值得随身带走的是那条翻译：展开图是半圆   ⟺  l=2r  ⟺  \iff l=2r \iff 轴截面是等边三角形 （顶角 60∘60^\circ、h=3 rh=\sqrt3\,r）。下次看到「侧面展开图是半圆」，直接写 l=2rl=2r 往下代就行。

本题涉及的教材页

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