展开图圆心角定母线与半径之比

解题套路

1. 把形状条件读成圆心角：半圆 $\Rightarrow \theta=\pi$；圆心角 $120^\circ \Rightarrow \theta=\frac{2\pi}{3}$； 四分之一圆 $\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}$。

2. 代进那条唯一的桥：扇形弧长 $=$ 底面周长，即 $\theta l = 2\pi r .$

3. 读出比例：$\dfrac{r}{l}=\dfrac{\theta}{2\pi}$。于是形状条件变成一句可直接代入的倍数关系：

   展开图	圆心角 $\theta$	母线与底面半径
   半圆	$\pi$	$l=2r$
   圆心角 $120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$l=3r$
   四分之一圆	$\frac{\pi}{2}$	$l=4r$

4. 把这个关系代进面积或体积公式，题目就只剩一个未知量。

为什么值得先翻译再算

形状条件本身不是一个数，不能直接代公式；翻译成 $l=kr$ 之后，$S_{\text{侧}}=\pi rl=k\pi r^2$、 $h=\sqrt{l^2-r^2}=r\sqrt{k^2-1}$、$V=\frac13\pi r^2h$ 全部变成 $r$ 的单变量式子， 一个方程一个未知量。先翻译，再列式比「一路带着 $l$ 与 $r$ 联立」少一半代数。

顺带记住半圆那一行的几何形态：$l=2r$ 意味着轴截面的底 $2r$ 与两腰 $l$ 相等， 即轴截面是等边三角形、顶角 $60^\circ$、$h=\sqrt3\,r$。看到「展开图是半圆」就能直接画出这个截面。

边界

• 桥只有一条：弧长 $=$ 底面周长。圆心角与面积无关，别把 $\theta$ 直接乘到面积上 （扇形面积是 $\frac12\theta l^2$，那里的 $\theta$ 要配 $l^2$）。
• 圆锥必有 $l>r$，故 $\theta=\frac{2\pi r}{l}<2\pi$。若算出的 $\theta$ 大于一整圈，回头查对应关系。