取到相等时把另一支排除在外

错在哪

新定义题里常见这样的约定：

于是 $F(x)=\min\{f(x),\ g(x)\}$。题目问「使得 $F(x)=g(x)$ 成立的 $x$ 的取值范围」。

在 $f(x)=g(x)$ 的那一点上，按约定 $\min$ 取的是 $p$ 那一支，也就是 $f$。 不少人据此断定「这里 $F=f$，不是 $g$」，把端点排除掉，答案写成开区间。

这是把「取哪一支」和「值等于多少」混为一谈。 两支相等时，取 $f$ 还是取 $g$， 算出来的数是同一个；等式 $F(x)=g(x)$ 说的是两个数相等，当然成立。 端点必须算进去。

正确的判据

问的是「$F(x)=g(x)$ 成立」，等价于

是小于等于，不是严格小于。约定里那句「$p\leqslant q$ 时取 $p$」只是为了让 $\min$ 成为一个 定义良好的函数（相等时也得说清楚返回哪个），它不改变函数值。

同理，问「$F(x)=f(x)$ 成立的范围」时答案是 $f(x)\leqslant g(x)$， 两个答案在交点处重叠——这不矛盾，因为那里两个等式同时成立。

怎么自查

把可疑的端点代进去算两遍：一遍算 $F$，一遍算等式右边。 数一样就成立，端点是闭的；数不一样才排除。 比如 $f(2)=g(2)=2$，那么 $F(2)=2=g(2)$，$x=2$ 当然在解集里。

相关的同类错误

• 把 $\max$ 的定义按「严格大于」读，丢掉相等处。
• 解 $|A|=A$ 这类等式时只取 $A>0$，漏掉 $A=0$。
• 分段函数在分界点上「两段的值相同」时，误以为只有指定的那一段有效。