放缩过头

放缩的每一步都是用一个更简单、更松的东西替换原来的东西。松一点换来能算，但松过了头，结论就落在界的外面，整条推导白做。

它与「算错」的区别

放缩过头不是算错——每一步都成立，只是最后那个界不够用。所以自己检查时不会发现「哪一步错了」，只会发现「怎么推不出来」。这时不要回头找错，要回头找哪一步放得太狠。

三个典型的过头动作

• 把整段和都按最大项估：$\dfrac12+\dfrac13+\dots+\dfrac1{100}\le 99\times\dfrac12$——项数一多就爆掉。改法是分块：前几项按各自的值、后面一大段按那一段的最大项估。
• 把变量直接扔掉：$\dfrac{1}{3-a_n}<\dfrac{1}{3-1}=\dfrac12$（用 $a_n\le1$）。这一步对，但 $\dfrac12$ 比真实值 $\approx\dfrac13$ 大太多，累加 $99$ 次就差出 $16$ 来。改法是先粗后精的两次放缩：先证 $a_n$ 很小，再回代。
• 不等式链里混进一步反向的：想证上界却在中间用了一次下界，方向一乱，结论就不成立了（这是错，不只是松）。

怎么判断「够不够用」

先算目标要求的余量，再决定放多松。 例如要证 $\dfrac1{a_{100}}<40$，而主项已经贡献了 $34$，那么留给误差项的预算就是 $6$；照这个预算去挑放缩方式——预算宽就放狠一点省事，预算紧就得放细。

动手前先估一眼真值（哪怕只是量级），才知道自己有多少余地。