浙江 2022 · 数学 q10

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2022 · 数学 q10 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1,an+1=an−13an2(n∈N∗)a_1 = 1, a_{n+1} = a_n - \frac{1}{3} a_n^2 (n \in N^*)，则（ ）

A. 2<100a100<522 < 100a_{100} < \frac{5}{2} B. 52<100a100<3\frac{5}{2} < 100a_{100} < 3 C. 3<100a100<723 < 100a_{100} < \frac{7}{2}

72<100a100<4\frac{7}{2} < 1 0 0 a_{1 0 0} < 4

答案

B

解析

分析

先通过递推关系式确定 {an}\{a_{n}\} 除去 a1a_1 ，其他项都在 (0,1](0,1] 范围内，再利用递推公式变形得到 1an+1−1an=13−an>13\frac{1}{a_{n + 1}} -\frac{1}{a_n} = \frac{1}{3 - a_n} >\frac{1}{3} ，累加可求出 1an>13(n+2)\frac{1}{a_n} >\frac{1}{3}(n + 2) ，得出 100a100<3100a_{100} < 3 ，再利用1an+1−1an=13−an<13−3n+2=13(1+1n+1)\frac{1}{a_{n + 1}} -\frac{1}{a_n} = \frac{1}{3 - a_n} < \frac{1}{3 - \frac{3}{n + 2}} = \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{n + 1}\right) ，累加可求出1an−1<13(n−1)+13(12+13+⋯+1n)\frac{1}{a_n} -1 < \frac{1}{3}(n - 1) + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\dots +\frac{1}{n}\right) ，再次放缩可得出 100a100>52.100a_{100} > \frac{5}{2}.

： a1=1a_1 = 1 ，易得 a2=23∈(0,1)a_2 = \frac{2}{3}\in (0,1) ，依次类推可得 an∈(0,1)a_{n}\in (0,1)
由题意， an+1=an(1−13an)a_{n + 1} = a_n\left(1 - \frac{1}{3} a_n\right) ，即 \frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{3}{a_n(3 - a_n)} = \frac{1}{a_n} +\frac{1}{3 - a_n},$$\therefore \frac{1}{a_{n + 1}} -\frac{1}{a_n} = \frac{1}{3 - a_n} >\frac{1}{3},
即 1a2−1a1>13,1a3−1a2>13,1a4−1a3>13,…,1an−1an−1>13,(n≥2),\frac{1}{a_2} -\frac{1}{a_1} >\frac{1}{3},\frac{1}{a_3} -\frac{1}{a_2} >\frac{1}{3},\frac{1}{a_4} -\frac{1}{a_3} >\frac{1}{3},\dots ,\frac{1}{a_n} -\frac{1}{a_{n - 1}} >\frac{1}{3},(n\geq 2),
累加可得 1an−1>13(n−1)\frac{1}{a_n} -1 > \frac{1}{3}(n - 1) ，即 \frac{1}{a_n} >\frac{1}{3}(n + 2),(n\geq 2),$$\therefore a_{n} < \frac{3}{n + 2},(n\geq 2) ，即 a100<134,100a100<10034<3,a_{100} < \frac{1}{34},100a_{100} < \frac{100}{34} < 3,
又 \frac{1}{a_{n + 1}} -\frac{1}{a_n} = \frac{1}{3 - a_n} < \frac{1}{3 - \frac{3}{n + 2}} = \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{n + 1}\right),(n\geq 2),$$\therefore \frac{1}{a_2} -\frac{1}{a_1} = \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{2}\right),\frac{1}{a_3} -\frac{1}{a_2} < \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{3}\right),\frac{1}{a_4} -\frac{1}{a_3} < \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{4}\right),\dots ,$$\frac{1}{a_n} -\frac{1}{a_{n - 1}} < \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right),(n\geq 3),
累加可得 \frac{1}{a_n} -1 < \frac{1}{3}(n - 1) + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\dots +\frac{1}{n}\right),(n\geq 3),$$\therefore \frac{1}{a_{100}} -1 < 33 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\dots +\frac{1}{99}\right) < 33 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\times 4 + \frac{1}{6}\times 94\right) < 39,
即 1a100<40,∴a100>140\frac{1}{a_{100}} < 40,\therefore a_{100} > \frac{1}{40} ，即 100a100>52;100a_{100} > \frac{5}{2};
综上： 52<100a100<3\frac{5}{2} < 100a_{100} < 3

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

非选择题部分（共110分）