区域的投影端点没按投影方向定

错在哪

区域 $D$ 在直线 $l$ 上的投影是一条线段，它的长度是

决定端点的是 $\vec{OP}\cdot\vec d$ 这一个数，不是点与点之间的距离。 常见的两种错法：

• 挑「最远的两个顶点」：三角形里最长的那条边，未必在 $\vec d$ 方向上跨度最大。 边长 $|PQ|$ 与投影跨度 $|(\vec{OP}-\vec{OQ})\cdot\vec d|=|PQ|\cos\theta$ 差一个 $\cos\theta$， 短边如果更「顺着」$l$，影子反而更长。
• 只投影了一条边就收工：找到一条与 $l$ 平行的边，直接把它的长度当答案， 没有回头验其余顶点的投影是否落在这一段里。只要有一个顶点投到了外面，影子就更长。

正确做法

1. 把 $l$ 的方向向量写出来并单位化：$l:ax+by+c=0$ 的方向是 $(b,-a)$。
2. 令 $u=\vec{OP}\cdot\vec d$，这是一个线性函数，在多边形区域上的最值必在顶点取到。
3. 逐个顶点算 $u$，取最大与最小，两者之差就是影子的长度。
4. 若走「认平行边」的近路，必须补一句：其余顶点的投影都落在这条边的投影之内。

怎么避免

• 先问一句「谁在 $l$ 的方向上跑得最远」，而不是「谁离谁最远」。
• 顶点全算一遍 $u$ 只要几秒，比事后返工便宜。
• 画图时把 $l$ 的方向画成一根箭头，顶点沿箭头方向排个序——端点一眼可见。