试几个位置都不成立就断定不存在

坑长什么样

题目问「在翻折过程中，是否存在某个位置使 $AB\perp CD$」。

顺手的做法：摊平时量一下，不垂直；折成两面垂直时算一下，也不垂直；对折快贴合时看着更不像。 于是勾「不存在」。

错。 这三次检验合起来只否掉了三个位置。存在性命题的否定是全称命题—— 要说「一个位置也没有」，必须对连续变化的每一个位置负责。 本题里 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$ 恰好在两面垂直与贴合之间某处穿过 $0$， 而那个位置既不是端点、也不是 $90^{\circ}$，随手试是试不到的。

为什么随手试的位置最不可能命中

顺手取的三个位置——摊平、两面垂直、对折贴合——都是端点或对称位置。 待判的量往往在这些位置上取到极值或呈现最”整”的形状， 而零点若存在，一般落在内部的非特殊角上（本题是 $60^{\circ}$）。 换句话说：越顺手的位置，越不可能是答案想让你找到的位置。

怎么躲

• 把「存在」翻译成「值域含 $0$」。 给运动一个参数 $\theta$， 把待判的量写成 $F(\theta)$，问题变成「$0\in F$ 的值域吗」。 这是一次区间判断，不是一串试算——有就有，没有就没有，不留缝。
• 两头取值异号就够了。 写不出闭形式也没关系：只要 $F$ 连续、 在两个位置上算出一正一负，零点就一定在中间。 想否掉，就反过来证 $F$ 恒正或恒负（例如凑成 $A+B\cos\theta$ 后比较 $|B|$ 与 $|A|$）。
• 发现某个量与 $\theta$ 无关，才是真能一口否掉的情形。 常数不等于零， 那一对就真的永远不垂直——这时用的是恒等式，不是试算。