空间点没定死就写坐标

建完系之后最省事的一步是「把各点坐标列出来」，而这一步最容易多写： 题目给的条件还没用完，坐标已经落笔了。落笔的那一瞬间，缺的那个条件就被自己随手补的一个顶掉了。

数一数：几个条件才够

设顶点 $P(x,y,z)$。每一条「$P$ 到某个已知点的距离等于某个数」给一个方程：

• 一条：$P$ 在一个球面上——两个自由度还剩着；
• 两条：两球面相交，$P$ 落在一个圆上——还剩一个自由度；
• 三条：圆与第三个球面交于两点（关于底面对称的一对），这才定死。

所以「$\triangle PAD$ 是以 $AD$ 为斜边的等腰直角三角形」只给了两条（$PA=PD$ 与 $PA\perp PD$， 后者在 $PA=PD$ 之下等价于 $PA=\frac{\sqrt2}{2}AD$），顶点还在一个圆上转。

随手补上的那一条是什么

在那个圆上最顺手的位置是「$y=0$」——也就是让 $P$ 落在 $AD$ 所在的那张竖直平面里。 写成几何语言，这一步等于默认

题面没说这句话。它一旦被默默用上，后面每一个坐标、每一个法向量、每一个夹角都跟着偏， 而过程看上去毫无破绽——因为所有算式都对，只是起点错了。

怎么防

• 先点条件，再写坐标。 把题面给的长度、垂直、平行逐条列出来，数一数够不够三条； 不够就说明还有条件没读出来（常常藏在「$PC=AD$」这种把几段长度串在一起的写法里）。
• 坐标写完回代验一遍。 把每一条给定的长度用算出来的坐标重算一次， 对不上就是写死得太早。上面那个例子里，$P(1,0,1)$ 回代给出 $PC=\sqrt3$， 而题面要的是 $PC=2$——一验就露馅。
• 解出来通常是两个点（关于底面互为镜像），任取一个即可，两支给出的角与距离完全相同； 解出来只有一个或一个都没有，说明条件读错了。