区间上的恒成立直接用判别式

易错点

开口向上的二次函数 $f(x)=x^{2}+px+q$，两句话看着像，其实差得远：

• 「对一切 $x\in\mathbf{R}$，$f(x)\geqslant0$」$\iff$ $\Delta=p^{2}-4q\leqslant0$。
• 「对一切 $x\in[m,n]$，$f(x)\geqslant0$」$\iff$ $\min_{[m,n]}f\geqslant0$，与 $\Delta$ 无关。

后者弱得多：抛物线完全可以钻到 $x$ 轴下面去，只要那一段不在 $[m,n]$ 里。 $f(x)=(x-5)(x-6)$ 在 $[0,1]$ 上恒正，$\Delta=1>0$。

拿 $\Delta\leqslant0$ 去解一道区间上的恒成立题，等于替题目多加了一条它没给的要求。 后果分两种：

• 答案变小甚至变空：本该取到的参数被判出局。
• 蒙对，但过程不成立：区间恰好把抛物线可能下沉的那一段全包住时，两者答案相同。 这时结论对、理由错——考场上未必扣分，但下一道题换个区间就翻车。

怎么做才对

开口向上，对称轴 $x=-\frac{p}{2}$，比它与区间的位置：

• 对称轴在区间内：$\min=f\!\left(-\frac{p}{2}\right)$，条件是它 $\geqslant0$（这时才回到判别式那一档）。
• 对称轴在区间左边：$f$ 在 $[m,n]$ 上递增，$\min=f(m)$。
• 对称轴在区间右边：$f$ 递减，$\min=f(n)$。

三种情形各写一个不等式，取并集。只有第一种才轮得到判别式。

自检

写下 $\Delta\leqslant0$ 之前先问一句：题目要求的是「对一切实数」还是「对某段里的 $x$」？

• 是「一切实数」（题面里通常写作「对任意 $x\in\mathbf{R}$」「恒成立」且没有区间）→ 判别式合法。
• 带了区间（「对任意 $x\in[a,b]$」「对边 $AB$ 上任一点」「对该数列的每一项」）→ 先定对称轴的位置，别碰判别式。