易错点

首尾相接的向量比读成同起点的比

AB→=λ BC→\overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{BC} 里两个向量**首尾相接**（前一个的终点正是后一个的起点），说的是 BB 把 AA 到 CC 这一段按 λ:1\lambda:1 分开；把它当成同起点的 AB→=λ AC→\overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{AC}，分点就整整错开一位。

错在哪

AB→=12BC→\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{BC} 与 AB→=12AC→\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{AC} 长得只差一个字母，位置却差得很远：

写法两个向量的关系BB 落在哪
AB→=12BC→\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{BC}首尾相接：ABAB 的终点就是 BCBC 的起点AB:BC=1:2AB:BC=1:2，即 BB 是 A→CA\to C 的三等分点（靠 AA 那个）
AB→=12AC→\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{AC}同起点：两个向量都从 AA 出发BB 是 ACAC 的中点

三等分点与中点，位置不同，代进去解出来的参数当然也不同。

怎么一眼分清

看中间那个字母。AB→\overrightarrow{AB} 与 BC→\overrightarrow{BC} 中间都写着 BB——一个以它结束、一个以它开始，这就是「接上了」。 接上了就用加法：

AC→=AB→+BC→=AB→+2AB→=3AB→,\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AB},

于是 AB→=13AC→\overrightarrow{AB}=\dfrac13\overrightarrow{AC}——要换成同起点的写法，系数得自己算一遍，不能照抄。12\dfrac12 变成了 13\dfrac13，这一步就是最容易丢的地方。

一般地：

AB→=λ BC→  ⟺  AB→=λ1+λ AC→(λ≠−1).\overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{BC} \iff \overrightarrow{AB}=\frac{\lambda}{1+\lambda}\,\overrightarrow{AC} \qquad(\lambda\neq -1).

翻车现场

2009 年浙江卷（理）第 9 题给的是 AB→=12BC→\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{BC}。取 a=1a=1 时正确的三点是

A(1,0),B(13,23),C(−1,2),A(1,0),\qquad B\left(\tfrac13,\tfrac23\right),\qquad C(-1,2),

AB→=(−23,23)\overrightarrow{AB}=\left(-\tfrac23,\tfrac23\right)，BC→=(−43,43)\overrightarrow{BC}=\left(-\tfrac43,\tfrac43\right)，确实是 22 倍关系。

若读成 AB→=12AC→\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{AC}，BB 就被摆到 ACAC 的中点 (0,1)(0,1) 上。这个点当然也在直线 x+y=1x+y=1 上， 看着毫无破绽——错误只在最后解出来的那个数上暴露出来，卷面上没有任何提示。

怎么防

  • 先判首尾还是同起点，再动笔。中间字母重复 ⇒\Rightarrow 首尾相接。
  • 首尾相接的比 λ\lambda，一律先翻成长度比 ∣AB∣:∣BC∣=λ:1|AB|:|BC|=\lambda:1，再数一共分成几份（这里 1+2=31+2=3 份）。
  • 换成同起点写法时，把 AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} 写出来当草稿，别凭印象改系数。
  • 收口检查：把解出来的三点坐标代回原始的那一行逐分量验一遍。中点与三等分点的差别，在这一步一定看得出来。

学它之前先会

共 1 条前置、最深 1 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。