垂直于面内一条线就断线面垂直

错在哪

「$l\perp m$，$m\subset\alpha$」只锁住了 $l$ 的方向的一个分量：$l$ 的方向向量与 $m$ 的方向向量内积为零。 空间里与一个给定方向垂直的方向有整整一个平面那么多，这里头绝大多数都不是 $\alpha$ 的法向。 所以这条前提留下的 $l$ 五花八门：

• $l$ 可以就躺在 $\alpha$ 里——面内与 $m$ 垂直的那一族线，它们与 $\alpha$ 连「相交」都算不上，更谈不上垂直；
• $l$ 可以平行于 $\alpha$——把上一条整体抬高一点即可；
• $l$ 可以斜穿 $\alpha$——与 $\alpha$ 成任意锐角，只要它在 $\alpha$ 内的射影垂直于 $m$；
• $l$ 当然也可以真的垂直于 $\alpha$。

四种都能出现，命题就不成立。一条线只能砍掉一个自由度，而「垂直于平面」要求把面内所有方向一次锁死。

典型的错句：

• 「∵$PA\perp BC$，$BC\subset$ 底面，∴$PA\perp$ 底面」——只证了一条，底面里还有无数个方向没管；
• 「∵$l\perp$ 交线，∴$l\perp$ 这个平面」——交线也只是一条线；
• 「正方体里 $A_1C\perp BD$，所以 $A_1C\perp$ 面 $ABCD$」——$A_1C$ 是体对角线，它与底面成的角根本不是直角。

正确做法

1. 凑够两条：在 $\alpha$ 内找出 $m$、$n$ 两条直线，证 $l\perp m$ 且 $l\perp n$。
2. 这两条必须相交（或写成「不平行」）：$m\cap n=P$。两条平行线给出的信息与一条完全一样， 判定定理里「相交」两个字是命根子，抄定理时千万别漏。
3. 结论才是 $l\perp\alpha$；此后才可以反过来用性质：$l$ 垂直于 $\alpha$ 内的一切直线。

只有一条线可用时，换别的路子：

• 平移法：找一条与 $l$ 平行、且已知垂直于 $\alpha$ 的直线，用「$a\perp\alpha$，$a\parallel l$ $\Rightarrow$ $l\perp\alpha$」；
• 向量法：把 $\alpha$ 的法向量 $\vec n$ 算出来，验证 $\vec l\parallel\vec n$——这一步等价于一次性验完面内所有方向。

怎么避免

• 写 $l\perp\alpha$ 之前，先在草稿上点清楚两件事：手上有几条面内的线、它们相交吗。两个答案不都是「够」就不能往下写。
• 判定定理的四个要件缺一不可：两条线、都在面内、彼此相交、都与 $l$ 垂直。默写时把「相交」单独圈出来。
• 反例随手就有：桌面当 $\alpha$，桌沿当 $m$，一支笔横搭在桌面上与桌沿垂直——笔垂直于桌沿，却平躺在桌面上。
• 自查口诀：一条线只能定一个方向，两条相交才能定一个面。