浙江 2010 · 数学 q06

转着看 · 换个机位再判断

一个模型三项全倒：$\alpha$ 里互相垂直的 $m$、$a$，$\alpha$ 外平行于它的 $b$、$c$·(A) 被 $a$、$m$ 否掉、(C) 被 $c$、$m$ 否掉、(D) 被 $b$、$c$ 否掉·另加的 $p \parallel q$ 一起戳穿 $\alpha$ = 官方答案 B（$l \perp \alpha$ 且 $l \parallel m$ $\Rightarrow m \perp \alpha$）

机位1题图角度2正对 α3沿 α 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：四条长得一样，判法却分两种

场上只有三个对象——两条不同的直线 $l$、$m$，一个平面 $\alpha$。四个选项也只有一种形状：

$$\text{（两个已知的位置关系）}\ \Longrightarrow\ \text{（第三个位置关系）} .$$

这种题的两个方向工作量极不对称：

• 要说一条成立，得证明它对每一种满足前提的摆法都成立；
• 要说一条不成立，只需摆出一个满足前提、结论却垮掉的具体图形。

所以顺手的走法是先造反例，倒不掉的那条再回头补证明。动手前先把四件工具摆出来，四个选项就都有了着落：

1. $l\perp\alpha$ 的定义是「$l$ 与 $\alpha$ 内的每一条直线都垂直」——注意是每一条，不是某一条。
2. 线面垂直的判定定理把「每一条」压缩成可操作的两条：$l$ 垂直于 $\alpha$ 内两条相交的直线，就有 $l\perp\alpha$。「相交」两个字是定理的命根子。
3. $l\parallel\alpha$ 的定义只说一件事：$l$ 与 $\alpha$ 没有公共点。它对 $l$ 的方向几乎没有约束，对 $l$ 的位置更是一无所言。
4. 空间里两条直线有三种关系：相交、平行、异面。第三种是平面几何里没有的，(C) 与 (D) 栽的就是它。

解法一：原卷路线——四条逐条判，一真三假各给理由

原卷解析只留了一句「可对选项进行逐个检查」。逐个检查是对的，但每一条该检查什么，值得写清楚。

(A) 若 $l\perp m$，$m\subset\alpha$，则 $l\perp\alpha$——不成立。

前提只给了一条面内直线。按定义，$l\perp\alpha$ 要求 $l$ 与 $\alpha$ 内的每一条直线都垂直；按判定定理，至少要凑够两条相交的。只垂直于其中一条，$l$ 的处境宽松得很：

• $l$ 可以就躺在 $\alpha$ 里（面内与 $m$ 垂直的那一族），这时 $l$ 与 $\alpha$ 连相交都算不上；
• $l$ 可以平行于 $\alpha$（把上一条整体抬高）；
• $l$ 可以斜穿 $\alpha$，与 $\alpha$ 成任意锐角；
• 当然也可以真的 $l\perp\alpha$。

四种都在前提之内，命题当然不成立。最省事的反例是第一种：桌面当 $\alpha$，桌沿当 $m$，一支笔平放在桌面上、横过桌沿——笔垂直于桌沿，却整支躺在桌面上。

(B) 若 $l\perp\alpha$，$l\parallel m$，则 $m\perp\alpha$——成立。

这一条能正面证，而且只用定义。任取 $\alpha$ 内的一条直线 $n$：

$$l\perp\alpha\ \Longrightarrow\ l\perp n ; \qquad l\parallel m\ \Longrightarrow\ m\ \text{与}\ n\ \text{所成的角}=l\ \text{与}\ n\ \text{所成的角}=90^{\circ} .$$

第二步用的是「两条平行直线与同一条直线所成的角相等」——$m$ 与 $n$ 可能相交也可能异面，但两种情形下这个角都按同一个定义算，结论一样。于是 $m$ 与 $\alpha$ 内每一条直线都垂直，按定义就是 $m\perp\alpha$。

注意这里不必另外交代 $m$ 与 $\alpha$ 是否相交：定义只管「与面内每条直线都垂直」这一件事，而 $m$ 若平行于 $\alpha$ 或躺在 $\alpha$ 里，面内总找得到与它平行的方向，那个角是 $0^{\circ}$ 不是 $90^{\circ}$，早被上式排除了。

(C) 若 $l\parallel\alpha$，$m\subset\alpha$，则 $l\parallel m$——不成立。

$l\parallel\alpha$ 只保证 $l$ 与 $\alpha$ 没有公共点，$m$ 却可以是 $\alpha$ 内任意一条直线，方向随便挑。于是 $l$ 与 $m$ 也没有公共点，但没有公共点的两条直线有两种：平行，和异面。

这正是「把异面直线误判为相交直线」那一类错觉的反面——很多人默认「不相交就平行」，把空间当成了平面。把桌面上的笔换成悬在半空、与桌沿斜着的一支笔：它与桌沿无交点，也不平行，两条异面。

正确的说法应该是：$l\parallel\alpha$、$m\subset\alpha$ 时，$l$ 与 $m$ 平行或异面，二者必居其一。要逼出平行，还得再加条件，比如再给一个过 $l$ 且与 $\alpha$ 交于 $m$ 的平面。

(D) 若 $l\parallel\alpha$，$m\parallel\alpha$，则 $l\parallel m$——不成立。

比 (C) 更松：现在两条线都被放到了面外，各自只被要求「不碰 $\alpha$」。方向上它们唯一的共同点是都与 $\alpha$ 的法向垂直，而与同一个方向垂直的方向有一整张平面那么多。平行、相交、异面三种关系都摆得出来，随便取两个不同的方向即可。

四条里只有 (B) 成立，答案 B。

解法二：一个桌面模型三项全倒——反例不必三处各造一个

怎么想到的。 解法一给 (A)、(C)、(D) 各造了一个反例，造完还得各自检查前提。其实三条错项要的元件高度重合：都只需要「面内两个方向 + 面外两个方向」。那就一次把这四条线摆好，三项从同一张图里取。

模型。 取 $\alpha$ 为桌面。在 $\alpha$ 内画两条互相垂直的直线 $m$ 与 $a$；在 $\alpha$ 外悬两条平行于 $\alpha$ 的直线——$b$ 顺着 $m$ 的方向，$c$ 顺着 $a$ 的方向。四条线的方向只有两种（$m$ 的方向与 $a$ 的方向，彼此垂直），位置有面内、面外两层。上图画的就是它。

三项各取一对：

三行各自都要回头验一遍前提：$a$ 与 $m$ 是面内互相垂直的两条，$b$、$c$ 悬在面外且方向落在面内，故都平行于 $\alpha$；$b$ 与 $c$ 方向不同，自然是「两条不同的直线」，题设那一条也没被违反。

剩下的一条还得证。 排除法在这里只走完了一半：反例只能否，不能证。$(A)(C)(D)$ 全倒之后能选 B，靠的是「单选题四项恰有一项正确」这条题外的约定；要真正说明 B 成立，仍得回到解法一那两行定义。考场上可以只走排除，写解答时这一句不能省。

这条路多给了什么。 它把三个孤立的反例收进了一张图：读者记住的不是三段文字，而是一个能随时重建的构型——桌面、桌沿、横笔、两支悬空的笔。下次再碰上线面关系的判断题，先把这张图摆出来，多半能当场判掉一半选项。

解法三：换成方向来读——(C) 与 (D) 其实是同一条命题

怎么想到的。 位置关系里「平行、垂直」本质上是方向之间的关系，只有「相交 / 异面」才真正牵涉位置。把每条直线换成它的方向向量、把平面换成它的法向量，四条命题立刻变成几个内积等式，谁强谁弱一目了然。

记 $\alpha$ 的法向量为 $\vec n$，$l$、$m$ 的方向向量为 $\vec u$、$\vec v$。翻译表只有四行：

$$l\perp\alpha\iff\vec u\parallel\vec n , \qquad l\parallel\alpha\ \text{或}\ l\subset\alpha\iff\vec u\cdot\vec n=0 ,$$ $$m\subset\alpha\Longrightarrow\vec v\cdot\vec n=0 , \qquad l\perp m\iff\vec u\cdot\vec v=0 .$$

最后一行的反向要留神：$l\parallel m$ 推出 $\vec u\parallel\vec v$，但 $\vec u\parallel\vec v$ 只推出「平行或重合」，位置还得另说。题设「两条不同的直线」正是为堵这个口子而来。

(A)。 已知 $\vec u\cdot\vec v=0$ 与 $\vec v\cdot\vec n=0$，要的结论是 $\vec u\parallel\vec n$。两个已知只说了一件事：$\vec u$ 与 $\vec n$ 都落在与 $\vec v$ 垂直的那张方向平面里。同一张平面里的两个方向凭什么就得同向？不必。假。

数一下自由度更直观：空间中一个方向有 $2$ 个自由度，一个内积为零的条件砍掉 $1$ 个，剩下 $1$ 个；而 $\vec u\parallel\vec n$ 是 $0$ 个自由度。一条线只能定一个方向，两条相交才能定一个面——判定定理里那个「两条」，数的就是这笔账。

(B)。 已知 $\vec u\parallel\vec n$ 与 $\vec u\parallel\vec v$，平行是方向之间的传递关系，于是 $\vec v\parallel\vec n$，即 $m\perp\alpha$。一行就完。四条里只有这一条的前提把 $\vec u$ 锁死成了 $\vec n$ 这个方向，也只有它能推出同样刚性的结论。

(C) 与 (D)。 把两条的前提都翻译出来：

$$\text{(C)}:\ \vec u\cdot\vec n=0,\ \vec v\cdot\vec n=0 ; \qquad \text{(D)}:\ \vec u\cdot\vec n=0,\ \vec v\cdot\vec n=0 .$$

一模一样。在方向这一层，(C) 与 (D) 是同一条命题：都只知道 $\vec u$、$\vec v$ 同落在与 $\vec n$ 垂直的那张方向平面里，而要的结论 $\vec u\parallel\vec v$ 是那张平面里的一个特例。既然前提相同，两条只能同真同假；(D) 明显是假的（面外两条平行于 $\alpha$ 的线可以朝不同方向），(C) 也就跟着倒。

两者仅有的差别在位置——$m$ 在面内还是面外——而结论 $l\parallel m$ 同时要求方向相同且两线不重合，位置那一层前提根本没管。这也解释了为什么 (C) 的正确结论是「平行或异面」：方向层面允许同向，位置层面允许错开。

答案 B。