8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

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练习

1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

(1) 书桌面是平面. ( )

(2) 平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 相交，它们只有有限个公共点. （）

（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （）

2. 下列命题正确的是（）.

(A) 三点确定一个平面

(B) 一条直线和一个点确定一个平面

(C) 圆心和圆上两点可确定一个平面

(D) 梯形可确定一个平面

3. 不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论.

4. 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：

(1) 点 A 在平面 $\alpha$ 内，点 B 在平面 $\alpha$ 外；

(2) 直线 a 既在平面 $\alpha$ 内，又在平面 $\beta$ 内.

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等．空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？

长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系.

观察

我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面。12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面。观察如图8.4-11所示的长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ ，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？

观察你所在的教室，你能找到上述位置关系的一些实例吗？你能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗？

图8.4-11

空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外。如图8.4-11中，点A在直线AB上，在直线 $A^{\prime}B^{\prime}$ 外。空间中点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外。如图8.4-11中，点A在平面ABCD内，在平面 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 外。

下面我们研究空间中直线、平面之间的位置关系.

1. 空间中直线与直线的位置关系

在图8.4-11中，直线 $AB$ 与 $DC$ 在同一个平面ABCD内，它们没有公共点，它们是平行直线；直线 $AB$ 与 $BC$ 也在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点 $B$ ，它们是相交直线；直线 $AB$ 与 $CC^{\prime}$ 不同在任何一个平面内.

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．于是，空间两条直线的位置关系有三种：

$\left\{\begin{array}{l}\text { 相交直线: 在同一平面内, 有且只有一个公共点; }\end{array}\right.$

平行直线：在同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

这样，空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的，即首先这两条直线在同一平面内，其次是它们不相交。如果直线 $a$，$b$ 为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图8.4-12所示。

2. 空间中直线与平面的位置关系

在图8.4-11中，直线 $AB$ 与平面ABCD有无数个公共点；直线 $AA^{\prime}$ 与平面ABCD只有一个公共点 $A$ ；直线 $A'B'$ 与平面ABCD没有公共点．再结合生活实例，我们可以看出，直线与平面的位置关系有且只有三种：

(1) 直线在平面内——有无数个公共点；

(2) 直线与平面相交——有且只有一个公共点；

(3) 直线与平面平行——没有公共点.

当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.

图 8.4-13 表示了直线与平面的三种位置关系.

● ●

一般地，直线 $a$ 在平面 $\alpha$ 内，应把直线 $a$ 画在表示平面 $\alpha$ 的平行四边形内；直线 $a$ 在平面 $\alpha$ 外，应把直线 $a$ 或它的一部分画在表示平面 $\alpha$ 的平行四边形外.

直线 a 与平面 $\alpha$ 相交于点 A，记作 $a \cap \alpha = A$ ；直线 a 与平面 $\alpha$ 平行，记作 $a \parallel \alpha$ .

3. 空间中平面与平面的位置关系

在图 8.4-11 中，平面 ABCD 与平面 $A'B'C'D'$ 没有公共点；平面 ABCD 与平面 $BCC'B'$ 有一条公共直线 BC. 再结合生活实例，我们可以看出，两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

(1) 两个平面平行——没有公共点；

(2) 两个平面相交——有一条公共直线.

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图8.4-14）.

图8.4-14

平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行，记作 $\alpha \parallel \beta$ .

探究

如图 8.4-15，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，连接 $A'B$ ， $D'C$ ，请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子，并用符号表示这些位置关系.

与其他同学交流一下你的结果.

例 1 如图 8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.

分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.

解：在（1）中， $\alpha\cap\beta=l,\quad a\cap\alpha=A,\quad a\cap\beta=B.$

在（2）中， $\alpha\cap\beta=l,\quad a\subset\alpha,\quad b\subset\beta,\quad a\cap l=P,\quad b\cap l=P,\quad a\cap b=P.$

例2 如图8.4-17， $AB\cap \alpha = B$ ， $A\notin \alpha$ ， $a\subset \alpha$ ， $B\notin a$ .直线 $AB$ 与 $a$ 具有怎样的位置关系？为什么？

解：直线 AB 与 a 是异面直线．理由如下.

若直线 $AB$ 与直线 $a$ 不是异面直线，则它们相交或平行。设它们确定的平面为 $\beta$，则 $B \in \beta$，$a \subset \beta$。由于经过点 $B$ 与直线 $a$ 有且仅有一个平面 $\alpha$，因此平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 重合，从而 $AB \subset \alpha$，进而 $A \in \alpha$，这与 $A \notin \alpha$ 矛盾。所以直线 $AB$ 与 $a$ 是异面直线。

• •

例 2 告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.

练习

1. 选择题

(1) 如果两条直线 $a$ 与 $b$ 没有公共点，那么 $a$ 与 $b$ ( ).
(A) 共面 (B) 平行
(C) 是异面直线 (D) 可能平行，也可能是异面直线

(2) 设直线 $a, b$ 分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则 $a$ 与 $b$ ( ). (A) 平行 (B) 相交 (C) 是异面直线 (D) 可能相交，也可能是异面直线

2. 如图，在长方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，判定直线 $AB$ 与 $AC$ ，直线 $AC$ 与 $A'C'$，直线 $A'B$ 与 $AC$ ，直线 $A'B$ 与 $C'D$ 的位置关系.

(第2题)

3. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“✓”，错误的画“×”.

（1）若直线 l 上有无数个点不在平面 $\alpha$ 内，则 $l \parallel \alpha$ . （）

(2) 若直线 l 与平面 $\alpha$ 平行，则 l 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都平行. （）

（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. （）

（4）若直线 l 与平面 $\alpha$ 平行，则 l 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都没有公共点. （）

4. 已知直线 $a, b$，平面 $\alpha, \beta$，且 $a \subset \alpha, b \subset \beta, \alpha // \beta$. 判断直线 $a, b$ 的位置关系，并说明理由.

习题8.4

复习巩固

1. 画出满足下列条件的图形：

(1) $a \subset \alpha, b \subset \alpha, a \cap b = A, c \cap \alpha = A$;

(2) $\alpha \cap \beta = l, AB \subset \alpha, CD \subset \beta, AB \parallel l, CD \parallel l.$

2. 选择题

(1) 经过同一直线上的 3 个点的平面 ( )。 (A) 有且仅有 1 个 (B) 有且仅有 3 个 (C) 有无数个 (D) 不存在

(2) 若直线 $a$ 不平行于平面 $\alpha$，且 $a \not\subset \alpha$，则下列结论成立的是（）. (A) $\alpha$ 内的所有直线与 $a$ 是异面直线 (B) $\alpha$ 内不存在与 $a$ 平行的直线 (C) $\alpha$ 内存在唯一一条直线与 $a$ 平行 (D) $\alpha$ 内的所有直线与 $a$ 都相交

3. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

（1）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面. （）

(2) 四边形可以确定一个平面. ()

（3）若 $a, b$ 是两条直线，$\alpha, \beta$ 是两个平面，且 $a \subset \alpha, b \subset \beta$，则 $a, b$ 是异面直线。（）

4. 填空题

（1）如果 $a$ ， $b$ 是异面直线，直线 $c$ 与 $a$ ， $b$ 都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_个；

(2) 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是____；

（3）已知两条相交直线 a, b，且 $a \parallel$ 平面 $\alpha$ ，则 b 与 $\alpha$ 的位置关系是 ____.

5. 正方体各面所在平面将空间分成几部分？

综合运用

6. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由.

7. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？

8. 如图，$\triangle ABC$ 在平面 $\alpha$ 外，$AB \cap \alpha = P$，$BC \cap \alpha = Q$，$AC \cap \alpha = R$，求证：$P$，$Q$，$R$ 三点共线.

拓广探索

9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在 $AB$，$CD$，$EF$，$GH$ 这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？

10. 在本节，我们学习了平面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法。类似地，直线有什么基本特征？如何刻画直线的这些基本特征？