通解代整数时漏取区间内的解

坑长什么样

题目给了区间（$\theta\in[0,2\pi)$、$x\in[0,\pi]$……），解出通解

然后直接答 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$。漏了 $k=1$ 给出的 $\dfrac{3\pi}{2}$——它也在 $[0,2\pi)$ 里。

为什么容易漏

通解写出来之后，注意力已经从”区间”转到”公式”上了。而通解的周期与题目区间的长度往往不一样：

只有周期恰好等于区间长时，答案才只有一个。 通解里出现 $k\pi$（而不是 $2k\pi$）就该警觉： $2\pi$ 长的区间里必有两个。

怎么当场堵住

1. 把区间除以周期：区间长 $\div$ 通解周期 $=$ 解的个数（首尾开闭再单独看一眼）。
2. 代一串 $k$，别只代一个：$k=-1,0,1,2$ 各算一遍，落在区间里的全留下—— 多算两个数的成本远小于漏解。
3. 答完回看区间的两端：端点是否包含（$[0,2\pi)$ 的右端不含 $2\pi$）， 漏根与多根都常出在这里。

与”由正弦值定角漏解”的区别

那一条说的是一个函数值对应两个角（$\sin\theta=\sin(\pi-\theta)$，在 $(0,\pi)$ 内一锐一钝）； 这一条说的是通解代整数时的取舍。前者漏的是”另一个名字”，后者漏的是”另一个周期”。 两条常常同时出现：先由函数值定出两族角，再在区间里各取几个。