交点落在直线上却不在线段内

错在哪

圆与直线的位置关系只看一个数：圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$。$d<r$ 相交、$d=r$ 相切、$d>r$ 相离——这条判据干净利落，但它判的是整条直线。

题目里出现的常常不是直线，而是直线的一段：三角形的一条边、线段 $AB$、区间 $[0,4]$ 上的那一段。直线上的两个交点可能一个在段内、一个在段外，甚至两个都在段外。这时 $d<r$ 仍然成立，段与圆的公共点却可能只有一个、甚至一个也没有。

反过来也有：段的端点恰好落在圆上时，这个点同属相邻两条边，计数时只能算一次。

翻车现场

2009 年浙江卷（理）第 7 题：三边为 $3,4,5$ 的直角三角形，问它的边与半径 $1$ 的圆最多有几个公共点。

把直角顶点放在原点，两条直角边沿坐标轴，取圆心 $\left(\tfrac12,\tfrac12\right)$。到 $x$ 轴的距离是 $\tfrac12<1$，按直线的判据「有两个交点」，解出来是

即 $x\approx 1.366$ 与 $x\approx -0.366$。后一个是负数——它在 $x$ 轴这条直线上，却不在 $[0,4]$ 这条边上。这条边实际只贡献 $1$ 个公共点。

不做这一步核验的人，会以为「三条边到圆心的距离都小于 $1$ 就能得 $6$ 个点」，一路答到 $6$。

怎么防

• 判据分两步写：第一步用 $d$ 与 $r$ 定「直线上有几个交点」，第二步把交点的坐标（或参数 $t$）解出来，逐个验它在不在段内。别把第一步的结论直接当答案。
• 用参数形式算：把线段写成 $P=U+t(V-U),\ t\in[0,1]$，代进圆方程解 $t$，只留 $t\in[0,1]$ 的根。段内段外一目了然，不必事后补验。
• 端点单独过一遍：端点在圆上时，它同时属于两条边；数总数时去重。
• 收口时回头读题：题目说的是「直线」「边」「线段」还是「弧」——这个词决定了要不要做第二步。