只用相切漏掉切点条件

「相切」与「切于点 $P$」是两个强度不同的条件：

• 只说相切 → 一条方程 $d=r$；
• 说切于 $P$ → 除了 $d=r$，还有 $P$ 在圆上（$|CP|=r$）、$P$ 在直线上，以及最有用的 $CP\perp l$（圆心被压到过 $P$ 的法线上）。

于是两种典型的翻车：

• 少一条方程解不动：圆心、半径都带未知量（两个未知量），只列 $d=r$ 一条，卡住之后开始猜；正确的是把切点给的那条补上。
• 多出假解：只用 $d=r$ 求出的参数，可能对应「相切但切点不在指定位置」的圆——它满足相切，却不满足题目那句「切于点 $P$」，必须回代淘汰。

反过来，切点给足了信息时 $d=r$ 反而是验算工具：先用 $CP\perp l$ 把圆心定下来、$r=|CP|$ 算出来，最后拿 $d=r$ 对一眼，比联立方程稳。

自检口诀：读到「切于点」三个字，就先问自己「切点这三条我用了几条」。