四数成等差只想到补在两端

易错点

题面写的是「$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ 的某种排列依次成等差数列」， 很多人默认已知的三个数就是等差数列的前三项（或后三项），于是只解出 「三个已知数本身成等差」那一种情形。

待定的那个数一共有四个位置可占。设公差 $d>0$、四项按大小是 $y_{0}<y_{1}<y_{2}<y_{3}$，已知三数按大小排好后的相邻间距记作 $p$、$v$：

只算第一行，就漏掉两个答案。

怎么防

• 不要去枚举 $4!$ 种排列——等差数列按大小排好后只有一个样子， 真正的自由度只是「$x_{4}$ 排第几」，就四种，且两端那两种给出同一个条件。
• 把已知三数排好序，只盯相邻两段的长度之比：$1:1$、$2:1$、$1:2$，一个都不能少。
• 每一支都要验 $d>0$ 与题设的参数范围；平方过的方程还要回头筛增根。

一句话记法

「补在两端」只管一种，「插在中间」还有两种。