三个零点的极值条件写反

坑长什么样

$g$ 在 $(0,p)$ 递减、$(p,q)$ 递增、$(q,+\infty)$ 递减，两端 $g\to+\infty$（左）与 $g\to-\infty$（右）。 问：$g$ 有三个不同零点的条件是什么？

• 错甲：写成 $g(p)>0$ 且 $g(q)<0$ —— 方向全反。那样 $g$ 全程只穿轴一次。
• 错乙：只写 $g(p)<0$（或只写 $g(q)>0$）—— 少一个条件，得到的范围偏大。
• 错丙：写成 $g(p)\cdot g(q)<0$ —— 这是两个零点的典型条件，用在这里既不充分也不必要。
• 对：$p$ 是极小值点、$q$ 是极大值点，故

为什么是这样

三个零点要求函数穿过 $x$ 轴三次，也就是每个单调段各穿一次。逐段看：

• $(0,p)$ 递减、左端 $\to+\infty$：要在这段穿轴，必须降到轴下，即 $g(p)<0$；
• $(p,q)$ 递增：从 $g(p)<0$ 出发，要再穿一次，必须升到轴上方，即 $g(q)>0$；
• $(q,+\infty)$ 递减、右端 $\to-\infty$：从 $g(q)>0$ 出发必然再穿一次，不给新条件。

所以两个条件既必要又充分，而第三段是免费的。先画单调性草图、标出两端趋势，再逐段数交点—— 这比背结论稳，因为一旦两端趋势换了（例如左端趋于有限值），条件也要跟着改。

顺带一条：极值点在哪，别算错

$g(p)<0$ 里的 $p$ 是极小值点。判断哪个是极小、哪个是极大，看 $g'$ 的符号变化： $-\to+$ 是极小，$+\to-$ 是极大。参数题里两个极值点常带字母（如 $x=a$ 与 $x=\mathrm e$）， 谁大谁小随参数变，于是极小/极大的身份也随之交换——必须分情形讨论，不能默认。

用在本题

浙江 2022 q22(2)：$g'(x)=-\dfrac{(x-a)(x-\mathrm e)}{x^{3}}$，两个极值点是 $a$ 与 $\mathrm e$。

• $a>\mathrm e$：$g$ 在 $(0,\mathrm e)$ 减、$(\mathrm e,a)$ 增、$(a,+\infty)$ 减，极小在 $\mathrm e$、极大在 $a$ ⇒ 条件是 $g(\mathrm e)<0$ 且 $g(a)>0$；
• $0<a<\mathrm e$：两个极值点互换身份，极小在 $a$、极大在 $\mathrm e$ ⇒ 条件变成 $g(a)<0$ 且 $g(\mathrm e)>0$。

两小问的不等式方向正好相反，全部来自这一次身份交换。抄错一个方向，两小问的结论就都反了。