求参范围漏掉图形存在性

坑在哪

题目问「某个量为锐角时参数 $p$ 的范围」，很多人把「锐角」翻成一个不等式就收工：

于是答案写成 $p>\dfrac{\sqrt6}{2}$——没有上界。可 $\cos B$ 还必须 $<1$： $\cos B$ 是一个真实存在的角的余弦，$B>0$ 就要求 $\cos B<1$。 这一条把 $p$ 从上面也卡住了，两个端点缺一不可。

根子在于：题面的限制条件只是「附加的」那一半，图形本身能不能存在是「默认的」那一半，而默认的那一半最容易忘。

三种常见的「默认条件」

怎么防

把「存在」也写成不等式，和题面给的条件一起取交集。

做完先做一次端点体检：把解出的区间两个端点分别代回原图形，看它是「恰好退化」还是「本来就不该到」。 本题 $p=\sqrt2$ 时 $\cos B=1$，$B=0$，$a$、$c$ 与 $b$ 共线——正是退化的那一刻， 所以端点开、不闭，这也顺带把开闭问题解决了。

反向自查

解完之后随手取区间内一个值（不是端点），把图形真的拼出来算一遍： 本题取 $p=1.3$，$\cos B=2p^{2}-3=0.38$，$B$ 确是锐角，$a+c=1.3b$、$ac=\dfrac{b^{2}}{4}$ 解出两条正边且拼得成三角形——区间内部确实可行，这才说明你求的是「取值范围」而不只是「必要条件」。