易错点

界只从某项起成立却从头用

一条界只从第 $k_{0}$ 项起成立，求和或连乘时却从第 $1$ 项就套上去——不满足那条界的前几项必须单独留着或另估，不能跟着一起放。

坑在哪

递推数列的界常常是从第二项、第三项起才成立的。例如由 $a_{1}=0$ 出发的一条递增数列，

a_{k}>\frac{1}{2}\quad(k\geqslant 2),

第一项 $a_{1}=0$ 明明白白不满足。可是写连乘的估计时，很容易顺手写成

\prod_{k=1}^{m}\frac{1}{1+a_{k}}<\left(\frac{2}{3}\right)^{m}\qquad(\text{错}),

把 $k=1$ 那个因子也当成了 $<\frac{2}{3}$ 。实际上第一个因子是 $\frac{1}{1+a_{1}}=1$ ，正确的是

\prod_{k=1}^{m}\frac{1}{1+a_{k}}=1\cdot\prod_{k=2}^{m}\frac{1}{1+a_{k}}<\left(\frac{2}{3}\right)^{m-1}.

差的那一个因子会让最终的界整整差一个倍数——而且差在偏小的一侧，也就是「证出来的结论比真相还强」，这属于证明本身出了错，不是估得粗了。

因为那条界是上一问的结论，写的时候脑子里是「已经证了」，而「从第几项起」那半句在上一问的结尾，隔了一段就忘了。

写下每一条界时，把成立的下标范围跟着一起写：不是 $a_{k}>\frac{1}{2}$ ，而是 $a_{k}>\frac{1}{2}\ (k\geqslant 2)$ 。求和、连乘之前再对一次账：

拆出来的那几项通常好算得很（就是几个具体的数），麻烦的是忘了拆。标准答案里常见的「当 $n\geqslant 3$ 时……，又因为 $T_{1}<T_{2}<T_{3}$ 」这种写法，正是在做这件事：主体部分从第 $3$ 项起放缩，前两项另行交代。

共 1 道题考到本条。