公切线漏数内公切线

坑长什么样

「圆 $C_1$、$C_2$ 都与直线 $l$ 相切」——先问一句：这样的 $l$ 有几条？

两圆的位置关系定条数（$d$ 是圆心距）：

外公切线是两圆在它同侧的那两条（在两圆「外面」夹着走）；内公切线是两圆分居两侧、 从两圆之间穿过去的那两条。只画外面那两条，是最常见的漏解。

这个漏解在代数上有个固定的样子。设两圆半径都是 $1$、圆心 $(0,0)$ 与 $(4,0)$，直线 $y=kx+b$：

绝对值相等要分两种：

• 同号：$4k+b=b\Rightarrow k=0$ ——这两条就是外公切线 $y=\pm1$；
• 异号：$4k+b=-b\Rightarrow b=-2k$ ——这两条才是内公切线。

只写同号那一种，就只剩 $k=0$。 题目若再给「$k>0$」，做题的人会得出「与 $k>0$ 矛盾、无解」， 而真答案恰恰在被丢掉的那一支里。

自检

• 先数条数再动笔：算一下 $d$ 与 $r_1+r_2$、$|r_1-r_2|$ 的大小，写下「本题有 4 条」。 解到最后手上有几条，与这个数对不上就是漏了。
• 看到 $|A|=|B|$ 就写两行：$A=B$ 与 $A=-B$ 各一行，或者干脆两边平方后因式分解 （$A^2-B^2=(A-B)(A+B)=0$ 天然给出两支）。
• 画一眼：两个圆画上，外面夹着两条、中间穿过两条，四条是不是都在。图上少一条，代数里必然也少一支。
• 题给的斜率范围、夹角范围是筛选用的，不是摆设：四条里筛掉三条，剩下的那条才是答案。