浙江 2020 · 数学 q15

冷启动：两个圆的标准方程先读成四个数

题面给的两个圆都是标准方程，圆心与半径直接念出来：

$$C_1:\ x^2+y^2=1\ \Rightarrow\ C_1(0,0),\ r_1=1;\qquad C_2:\ (x-4)^2+y^2=1\ \Rightarrow\ C_2(4,0),\ r_2=1 .$$

四个数里有两件事要当场记下：

• 两圆半径相等（都是 $1$）——这是本题唯一的机关，解法二整条路都由它长出来。
• 圆心距 $|C_1C_2|=4>r_1+r_2=2$，两圆外离，所以公切线有四条。

于是题面那句 $k>0$ 不是摆设：它是从四条里筛出一条的筛子。答案唯一，靠的是它。

关键卡点：「直线与圆相切」只有一种可算的写法——圆心到直线的距离等于半径。 本题相切两次，就是两个这样的等式；把直线写成一般式 $kx-y+b=0$ 再代公式。

解法一：两个「距离 = 半径」方程，硬解 k 与 b

怎么想到的。 条件只有「都相切」，那就把它逐字翻译两遍。翻译的工具就是点到直线的距离公式， 这条路不需要任何几何观察，是官方解析走的路。

① 列两个方程。 直线 $y=kx+b$ 写成一般式 $kx-y+b=0$，两个圆心到它的距离分别是

$$d_1=\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}=1,\qquad d_2=\frac{|4k+b|}{\sqrt{1+k^2}}=1 .$$

② 两式一比，先定 b 与 k 的关系。 两个右边都是 $1$、分母又相同，所以 $|b|=|4k+b|$。 两边平方后因式分解（这样两支自然都在，不必手工分类）：

$$b^2=(4k+b)^2\ \Longrightarrow\ (4k+b)^2-b^2=8k\,(2k+b)=0 .$$

因为 $k>0$，只能 $2k+b=0$，即 $\boxed{\,b=-2k\,}$。（被 $k>0$ 排除的那支 $k=0$ 正是两条外公切线 $y=\pm1$；见避坑第二条。）

③ 代回任一个方程解出 k。 把 $b=-2k$ 代进 $d_1=1$：

$$|-2k|=\sqrt{1+k^2}\ \Longrightarrow\ 4k^2=1+k^2\ \Longrightarrow\ k^2=\frac13 \ \Longrightarrow\ k=\frac{\sqrt3}{3}\quad(k>0),$$

于是 $b=-2k=-\dfrac{2\sqrt3}{3}$。

④ 回代验一次（十秒）。 $\sqrt{1+k^2}=\sqrt{\tfrac43}=\dfrac{2}{\sqrt3}$，而 $|b|=\dfrac{2}{\sqrt3}$、$|4k+b|=\left|\dfrac{4}{\sqrt3}-\dfrac{2}{\sqrt3}\right|=\dfrac{2}{\sqrt3}$ ——两个距离都等于 $1$ ✓ 两次相切都对上了。

解法二：等半径两圆看对称：内公切线过中点，再看一个直角三角形

怎么想到的。 两圆半径相等这件事，代数上只体现为「两个方程右边一样」，几何上却是一句强得多的话： 两圆关于连心线的中点 $M(2,0)$ 中心对称。 把这句话用足，就是等半径两圆的内公切线过连心线中点这条套路。

① 四条公切线先各就各位。 等半径 ⇒ 两圆之间是一个平移，外公切线平移过去还是自己， 故它平行连心线：$y=\pm1$，斜率 $0$，被 $k>0$ 排除。 剩下两条内公切线在中心对称下映成自身，而一条直线在中心对称下不动只能是过对称中心， 所以它们都过 $M(2,0)$。 （为什么是「各自不动」而不是「两条互换」：中心对称保持斜率，而这两条关于 $x$ 轴互为镜像、 斜率一正一负必不相等，互换就会改变斜率——所以只能各自不动。）

② 「过 M」一步给出截距。 把 $M(2,0)$ 代进 $y=kx+b$：

$$0=2k+b\ \Longrightarrow\ b=-2k .$$

解法一用一次平方加一次因式分解才拿到的关系，这里是一句话。

③ 一个直角三角形给出斜率。 设这条内公切线与 $\odot C_1$ 的切点是 $T$。切线 $\perp$ 半径， 所以 $\angle C_1TM=90^\circ$，而 $|C_1T|=r=1$、$|C_1M|=\dfrac{|C_1C_2|}{2}=2$：

$$\sin\angle C_1MT=\frac{|C_1T|}{|C_1M|}=\frac12\ \Longrightarrow\ \angle C_1MT=30^\circ .$$

连心线就是 $x$ 轴，所以这个角（的对顶角）正是直线的倾斜角：

$$k=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3},\qquad b=-2k=-\frac{2\sqrt3}{3} .$$

④ 这条路多给的东西。 把数换成字母：半径 $r$、$|C_1M|=a$，则

$$\sin\angle C_1MT=\frac{r}{a},\qquad k=\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}},\qquad b=-ak .$$

本题 $r=1$、$a=2$ 代进去就是答案。题目改半径、改圆心距，换两个数即可，不必重列方程； 问「四条公切线各是什么」也能照着图直接念。

两条路差在哪

填空题两条都在半分钟内。解法一不需要眼力、任何两圆都能套；解法二几乎不算， 而且顺手把「为什么答案只有一组」讲清楚了。

避坑

• 只列一个方程。 「与 $C_1$、$C_2$ 都相切」是两个条件，两个未知量 $k$、$b$ 才定得下来。 只写一个，最后必然多出一个自由参数。
• $|b|=|4k+b|$ 只去一种绝对值。 只写同号那支 $4k+b=b$ 会得 $k=0$，与 $k>0$ 矛盾， 于是误判「无解」——而答案就在被丢掉的异号那支 $b=-2k$ 里。这正是公切线漏数内公切线在代数上的样子： $k=0$ 的两条是外公切线，$b=-2k$ 的两条才是内公切线。
• 平方之后开方不戴绝对值。 由 $b^2=(4k+b)^2$ 直接写 $b=4k+b$ 是同一个坑的另一种写法（开方丢绝对值）； 用因式分解 $(4k+b)^2-b^2=0$ 天然保住两支。
• 把 $k>0$ 当摆设。 四条公切线里，$k=0$ 的两条、$k<0$ 的一条都被这句话筛掉。 答案唯一是它的功劳；解完回头看一眼「我筛过没有」。
• 半径不等还照抄「过中点」。 中点是 $r_1=r_2$ 的特例。$r_1\ne r_2$ 时内公切线过的是把 $|C_1C_2|$ 分成 $r_1:r_2$ 的内分点，外公切线也不再平行连心线。
• $b$ 的符号弄反。 $k>0$ 那条内公切线从左下升到右上、穿过 $M(2,0)$，纵截距必然是负的。 答成 $+\dfrac{2\sqrt3}{3}$ 是把 $k<0$ 那条（$y=-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{2\sqrt3}{3}$）的截距搬了过来。
• 两个空填反或多写字母。 第一空 $\dfrac{\sqrt3}{3}$、第二空 $-\dfrac{2\sqrt3}{3}$，不写「$k=$」。

收口

一句话：「相切」只有一种可算的写法——圆心到直线的距离等于半径；两次相切就是两个这样的等式。 本题的两个等式右边相同（等半径），一比就得 $|b|=|4k+b|$，两支分别是外公切线与内公切线。

更值得随身带走的是几何那半边：等半径两圆 ⇒ 外公切线平行连心线、内公切线过连心线中点； 再由 $\sin\angle=\dfrac{r}{a}$（$a$ 是圆心距的一半）读出夹角。 下次看到「两个半径相同的圆都与 $l$ 相切」，先把 $M$ 点出来，答案基本已经在纸上了。