浙江 2020 · 数学 q15

题面

15．设直线l：$y = k x + b ( k > 0 )$，圆C_{1} \colon \ x^{2} + y^{2} = 1$$C_{2} \colon \ ( x - 4 ) \ {}^{2} + y^{2} = 1，若直线l与C₁，C₂都相切，则k＝；b＝

答案

${\frac{\sqrt{3}}{3}} ; - {\frac{2 {\sqrt{3}}}{3}} .$

解析

分析

根据直线 l 与两圆都相切，分别列出方程$d_{1} = \frac{\left| b \right|}{\sqrt{1 + k^{2}}} = 1 , d_{2} = \frac{\left| 4 k + b \right|}{\sqrt{1 + k^{2}}} = 1$解得即可

解：由条件得C₁（0，0），r₁＝1，C₂（4，0），r₂＝1，

因为直线l 与$C_{1} , C_{2}$都相切，

故有$d_{1} = \frac{\left| b \right|}{\sqrt{1 + k^{2}}} = 1 , d_{2} = \frac{\left| 4 k + b \right|}{\sqrt{1 + k^{2}}} = 1$

则有$\frac{\vert b \vert}{\sqrt{1 + b^{2}}} = \frac{\vert 4 k + b \vert}{\sqrt{1 + k^{2}}}$，故可得$b^{2} = ( 4 k + b )^{2}$，整理得$k \ ( 2 k {+} b ) \ {=} 0$

因为$k {>} 0$，所以$2 k {+} b {=} 0$，即$b = - 2 k$

代入$d_{1} = {\frac{\left| b \right|}{\sqrt{1 + k^{2}}}} = 1$，解得$k {=} \frac{\sqrt{3}}{3}$，则$b {=} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} ,$

故答案为：${\frac{\sqrt{3}}{3}} ; - {\frac{2 {\sqrt{3}}}{3}} .$