到定点最远的点当成顶点

坑长什么样

求 $P(0,1)$ 到椭圆 $\dfrac{x^{2}}{12}+y^{2}=1$ 上点的距离的最大值。

• 错甲：长轴端点离得最远 → 取 $(\pm2\sqrt3,\,0)$，答 $\sqrt{0+12+1}=\sqrt{13}\approx3.6056$；
• 错乙：$P$ 是上顶点，那最远的就是下顶点 → 取 $(0,-1)$，答 $2$；
• 对：把距离平方化成一元二次函数。由 $x^{2}=12\left(1-y^{2}\right)$，

对称轴 $y=-\dfrac1{11}$ 落在区间内部，最大值 $=13+\dfrac1{11}=\dfrac{144}{11}$， 故最远距离 $\dfrac{12\sqrt{11}}{11}\approx3.6181$。

错甲只差 $0.0126$——它错得不显眼，这才是这个坑的危险之处：对着答案估一眼数量级根本发现不了。

为什么顶点不是答案

「长轴端点最远」说的是到中心 $O$ 最远。换一个定点，被最大化的函数就换了一个，极值点自然跟着挪。 本题最远点是 $\left(\pm\dfrac{12\sqrt{10}}{11},\,-\dfrac1{11}\right)$，在 $x$ 轴略下方——既不是顶点， 也不在坐标轴上。

只有当定点恰在对称中心上（或所化出的二次函数对称轴恰好越出 $[-b,b]$、最值退到端点）时， 最远点才会落在顶点。那是特例，不是通例。

怎么防

1. 一律化成一元函数再看：用 $x^{2}=a^{2}\left(1-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\right)$ 消掉一个字母， 或用参数式 $(a\cos\varphi,\,b\sin\varphi)$ 把目标化成关于 $\sin\varphi$ 的二次式。
2. 算出对称轴，再判它在不在 $[-b,b]$ 里。在里面 → 最值在内部取，端点值是陪衬； 在外面 → 才轮到端点。这一句判断是整道题的胜负手。
3. 别用「看起来最远」代替计算。$\sqrt{13}$ 与 $\dfrac{12\sqrt{11}}{11}$ 差在小数第二位， 凭直觉和草图分不出来。