易错点

韦达的两根里混着定点自己

过曲线上定点 $P$ 的直线与曲线联立，得到的二次方程一定有一个根是 $P$ 自己的横坐标；此时韦达定理给的「两根之和」是「定点 + 另一交点」，不是「两个动交点之和」，直接拿去用就差了一整项。

坑在哪

题目说「过曲线上的点 $P$ 作直线，交曲线于另一点 $A$ 」，于是联立：

\begin{cases} y=kx+m \\ x^{2}=y \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-kx-m=0 .

写到这里，手会顺着惯性往下走： $x_{1}+x_{2}=k$ 、 $x_{1}x_{2}=-m$ 。可这两个根是直线与曲线的全部公共点，而 $P$ 就在其中—— $x_{P}$ 是其中一个根，另一个才是 $A$ 。

于是「两交点横坐标之和」这句话在这里是有歧义的：

写法	含义	对不对
$x_{1}+x_{2}=k$	$x_{P}+x_{A}=k$	对
$x_{A}+x_{B}=k$	两条不同直线各自的第二交点之和	错，差了 $2x_{P}$

本题型里最典型的错法：两条直线都过 $P$ ，各自的第二交点是 $A$ 、 $B$ ，要的是 $x_{A}+x_{B}$ ，却直接把两次韦达的结果相加，于是多算了两个 $x_{P}$ 。

把定点这个根显式地剥出来。 $x_{P}$ 是根，所以

x^{2}-kx-m=(x-x_{P})(x-x_{A}),

对比一次项系数立刻得到

x_{A}=k-x_{P} .

一条直线一句，两条直线两句，再相加：

x_{A}+x_{B}=(k_{1}-x_{P})+(k_{2}-x_{P})=k_{1}+k_{2}-2x_{P} .

那个 $-2x_{P}$ 就是被漏掉的一项。

解完随手验一次：把求出的 $x_{A}$ 代回直线与曲线，两边应当同时成立；再看一眼 $x_{A}$ 是否等于 $x_{P}$ ——若相等，说明这条直线与曲线相切（只有一个交点），题设的「另一点」并不存在，这个参数值要排除。

共 1 道题考到本条。