区间端点处的零点计数漏判开闭

易错点

「恰有 $n$ 个零点」转成 $\omega$ 的不等式时，最难的是开闭号：它由「第 $n$ 个零点能不能落在区间端点上」决定。

以 $f(x)=\cos\omega x-1$ 在 $[0,2\pi]$ 恰有 $3$ 个零点为例，零点是 $x_k=\dfrac{2k\pi}{\omega}$（$k=0,1,2,\dots$）。要 $k=0,1,2$ 在区间内、$k=3$ 不在：

• $x_2=\dfrac{4\pi}{\omega}\le 2\pi$（能取等：$x_2$ 落在右端点 $2\pi$ 时仍算第 $3$ 个零点）$\Rightarrow \omega\ge 2$；
• $x_3=\dfrac{6\pi}{\omega}>2\pi$（不能取等：一旦 $x_3=2\pi$，区间里就冒出第 $4$ 个零点）$\Rightarrow \omega<3$。

于是 $\omega\in[2,3)$——左闭右开。把左端也写成开、或把右端写成闭，都是没想清「端点上的零点到底数不数」。

自检

写完不等式，把两个端点值代回去各数一遍零点：$\omega=2$ 时数得 $3$ 个吗？$\omega=3$ 时数得几个？个数对上了，开闭号才放心。