翻折后的角与二面角比大小

题型说明

• 常见问法：「沿直线 $\ell$ 把 $\triangle ACD$ 折成 $\triangle A'CD$，所成二面角的平面角为 $\alpha$，则（　）」，四个选项是「某个角 $\leq\alpha$ / $\geq\alpha$」的四种搭配。
• 它不是求值题，是判定题：图里没有一个数，$\alpha$ 与三角形的形状都是自由的。所以选项要么对一切情形成立（那就是答案），要么存在一个反例（那就出局）。
• 难点在于「折起后」这四个字：折起改变的只有二面角，折痕上的点、以及每个点到折痕的距离全都没变。哪些量守恒、哪些量变，是这类题的全部信息。

折起时守恒的三样

沿直线 $\ell$ 折起 = 把半平面绕 $\ell$ 旋转。旋转保持三件事，列清楚就够用了：

于是「$\ell$ 上任一点到 $A$ 与到 $A'$ 等距」——这正是把两个等腰三角形摆到一起比较的入口。

判定谁对，靠两件事

1. 证一条：把要证的那个不等式落到一条守恒量上。折起点的轨迹是一个圆（圆心是垂足），二面角的平面角就量在那个圆所在的平面里，故绕垂足做文章通常最短。
2. 举反例把其余三条打掉：$\alpha$ 与形状各自自由，所以分别挑一个极端配合——形状挑非等腰的、$\alpha$ 挑接近 $0$ 或接近 $\pi$ 的——往往一击即中。

常见陷阱

• 只验一个位置就下结论。折成 $90^\circ$ 时成立，不等于对一切 $\alpha$ 成立。
• 把折痕上某个端点当旋转中心。旋转中心是垂足，不是折痕的端点（见易错点：翻折时把旋转半径取错）。
• 把「$D$ 是中点」这条件用到 $C$ 上。中点给的是「$\angle A'DC+\angle BDC=\pi$」这条特殊关系；顶点 $C$ 处没有它，所以在 $C$ 处两个方向的不等式都不成立。