棱上求点使二面角为直角

题型说明

• 常见问法：「在线段 $AP$ 上是否存在点 $M$，使二面角 $A\text{-}MC\text{-}B$ 为直二面角？ 若存在，求出 $AM$ 的长；若不存在，请说明理由。」
• 动点只有一个自由度（它在一条线段上），而条件是一个等式， 所以答案通常是「恰好一个位置」；题目故意写成存在性问句，是为了逼你把 「凭什么就是它」「会不会还有别的」一并交代。
• 与「求二面角的大小」相比，这类题的方向是反的：角是给定的（$90^\circ$），要解的是位置。

三件事缺一不可

漏掉第三件，答案仍算对但过程不完整；漏掉第二件（只解方程不回验）， 遇到解出的参数落在定义域外（动点跑出线段、或让平面退化）就会错。

两条主路

坐标法：建系，把动点写成含参坐标，两个半平面各求一个法向量， 令它们的数量积为零。好处是「直二面角」只要求法向量垂直， 这一步不涉及补角，是法向量法在这类题上最干净的用法。

综合法：找一条在一个半平面内、垂直于另一个半平面的直线。 常见构型是「棱所在的那条直线垂直于另一个面」—— 于是在该直线上取垂足就得到那个点（见套路「一条边垂直于另一面就是直二面角」）。 综合法天然给出充分性，唯一性另说一句即可。

先把定义域写出来

动点参数化后先写清它的取值范围，再解方程：

• $M$ 在线段上，不是整条直线——解出来要回验落在区间内。
• $M$ 取到端点时，若三点共线，那个「半平面」就不存在，二面角无从谈起， 这个端点必须排除（原卷里写成 $\lambda\neq 1$ 那种条件，往往就是在排除它）。
• 解出的参数若恰好让某个法向量的分母为零，说明那个位置本来就不合法，不是「无解」。