一条边垂直于另一面就是直二面角

解题套路

1. 把「直二面角」翻成「面面垂直」。二面角 $\alpha\text{-}\ell\text{-}\beta$ 为直二面角 $\Longleftrightarrow$ 半平面所在的两个平面互相垂直。这一步把「角」换成了「位置关系」， 接下来可以只用判定定理，一条辅助线都不用作在棱上。
2. 在一个面里找一条垂直于另一个面的直线。要证平面 $\beta_0\perp$ 平面 $\alpha_0$， 只需在 $\beta_0$ 内找到一条直线 $m$ 使 $m\perp\alpha_0$。
3. $m\perp\alpha_0$ 再拆成两条线线垂直：由线面垂直的判定定理， $m$ 垂直于 $\alpha_0$ 内两条相交直线即可。于是整条路子退化成找两组线线垂直。
4. 反过来读也有用：若已经知道 $m\perp\beta_0$ 而 $m\subset\alpha_0$， 那么 $\alpha_0\perp\beta_0$，凡以它们为半平面的二面角全是直角—— 同一条垂直关系可以一次交待掉好几个二面角。

为什么比直接量角省事

作平面角要三件事都对：顶点在棱上、两条射线各在一个半平面内、两条射线都垂直于棱。 其中第三条最容易写漏，写漏了算出来的就不是这个二面角。 走「面面垂直」这条路，需要交待的只有两组线线垂直加一句「两条相交直线」， 每一句都能被判定定理逐字对上，没有「看图觉得垂直」的空子。

另有一个常被忽略的副产品：$m\perp\alpha_0$、$m\subset\beta_0$ 成立时， $m$ 与棱 $\ell$ 的交点就是现成的平面角顶点，$m$ 本身就是一条边—— 真要写平面角，也已经攒够材料了。

边界

• 「一条边垂直于另一面」是充分条件，不自动是必要条件。二面角是直角时， 只保证两个半平面所在平面垂直，不保证你随手挑的那条线垂直于另一个面。 若题目要的是「当且仅当」，必要性得另证（常用的办法是把平面角按定义算一遍， 或说明满足条件的平面唯一）。
• 判定定理要的是直线垂直于平面，不是「垂直于平面内某一条直线」。 只有一条线线垂直就下结论，是常见的失分点。
• 半平面退化时整个说法失效：三点共线、动点跑到端点上导致平面不确定， 得先把这些位置排除掉。