翻折后的二面角与线段长

题型说明

• 典型问法：矩形（或三角形）里先标出一条折痕，「沿这条线把一块翻折上去，使平面 $\alpha\perp$ 平面 $\beta$」， 然后 (I) 求某个二面角的余弦值；(II) 再取一条折痕把另一块折上去，使某两点重合，求这条折痕的位置。
• 两问的地位完全不同：
  • 第 (I) 问是静态的——折起的姿势已经被「面面垂直」这句话钉死，剩下的是一道普通的二面角题；
  • 第 (II) 问是动态的——折痕的位置是未知量，「重合」这句话才是方程。
• 难点不在计算，在分清哪些量在翻折中不变：折痕同侧的那一块是被整体搬动的刚体， 它内部的边长、角、面积一个都不变；跨折痕的那些量（连到另一侧去的线段）才会变。

固定动作

1. 把翻折前的平面图单独画一遍，把要折的两块分别涂色，所有长度都标在这张图上。 翻折后立体图里要用的数，全部从这张平面图上抄。
2. 第 (I) 问：先把折起那一块的「高」钉住。「平面 $\alpha\perp$ 平面 $\beta$」几乎总是用来配 「折起的那个点到折痕的垂线」：这条垂线在 $\alpha$ 内、又垂直于两面的交线，于是垂直于 $\beta$。 顶点的位置一旦定死，二面角就随便用哪条路都能算。
3. 第 (II) 问：把「重合」翻译成距离方程。折痕上的每个点到「折前的点」与「折后的点」距离相等， 于是折痕的两个端点各给一个方程，两个方程分别定出折痕与两条边的交点。
4. 回头检验交点真的落在线段上。方程解出的是折痕所在直线与两条边所在直线的交点， 落到线段外就意味着这样的折法不存在——这一句检验是评分点，不是客套。

常见失手

• 把翻折后的图硬画成「原来的样子抬起来」，于是把折起那一块里已经变了位置的点当成没动， 或者反过来，把根本没变的长度重新算一遍。
• 第 (I) 问里作出一个角就当成平面角，没证两条边都垂直于棱。
• 第 (II) 问只写一个等距方程（只管一个端点），第二个端点是否还落在边上完全不问。